Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng - Chuyên đề Toán 10
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình đường tròn (C) tâm I (-4; 3) và tiếp xúc với trục tung là?
A. x2 + y2 - 4x + 3y + 1 = 0. B. (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.
C. (x - 4)2 + (y + 3)2 = 9. D. x2 + y2 + 8x - 6y + 1 = 0.
Bài giải:
Do đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy và có tâm I (-4; 3) nên: a = - 4; b = 3 và R = |a| = 4.
=> (C) có phương trình là: (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.
Đáp án: B.
Ví dụ 2: Tìm phương trình đường tròn (C), tâm I (4; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y + 5 = 0?
A. (x - 4)2 + (y - 3) 2 = 2. B. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.
C. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4. D. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 3
Bài giải:
Do đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính đường tròn.
⇒ Bán kính đường tròn (C) là: R = d (I, ∆) =
=> Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.
Đáp án: B.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C) có phương trình như sau: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0). Tìm mệnh đề sai?
A. ( C) có bán kính R =
B. ( C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b2 = R2.
C. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R.
D. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi b2 = c.
Bài giải:
Xét phương án C:
Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy < => d (I, y'oy) = R ⇔ |a| = R.
Do vậy đáp án này sai vì nếu a = - 9 ⇒ R = -9 < 0 (vô lý)
Đáp án: C.
Ví dụ 4: Tìm mệnh đề đúng?
(I) Đường tròn (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 tiếp xúc với trục tung.
(II) Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). D. Không có.
Bài giải:
+ Xét phương trình đường tròn: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 có a = -2; b = 3 và R = 3
Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox nên (I) sai.
+ Xét đường tròn: ( x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 có a = 3; b = -3 và R = 3
Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (II) đúng.
Đáp án: B.
Ví dụ 5: Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn x2 + y2 - 9 = 0?
A. m = ±15 B. m = ±√ 3 C. m = - 3 D. m = 3
Bài giải:
Đường tròn x2 + y2 - 9 = 0 có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.
Khoảng cách từ tâm I (0; 0) đến đường thẳng (d) là
d (I; d) =
Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn < => d (I; d) = R
⇔
Đáp án: A.
Ví dụ 6: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng d: x + y - 4√ 2 = 0. Tính bán kính của đường tròn?
A. 4√ 2 B. 4 C. 2 D. 8
Bài giải:
Khoảng cách từ tâm O (0; 0) đến đường thẳng (d) là:
d (O; d) =
Để đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d thì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R.
⇒ Bán kính đường tròn (C): R = 4.
Đáp án: B.
Ví dụ 7: Nếu đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 3)2 = R2 tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 thì giá trị của R là bao nhiêu?
A. 2√ 2 B. 19/13 C. √ 5 D. √ 2
Bài giải:
Từ phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 3) bán kính R.
Đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) < => R = d (I; d) =
Đáp án: B.
Ví dụ 8: Cho phương trình x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 (1). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình (1) là phương trình đường tròn, với mọi giá trị của m.
B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc với trục tung.
C. Đường tròn (1) tiếp xúc với các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2.
D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2.
Bài giải:
+ Xét phương trình: x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 có: a = 2; b = -m và c = m2
⇒ a2 + b2 - c = 4 + m2 - m2 = 4 > 0 với mọi m nên A và D đúng.
+ Vì a = R = 2 => B đúng.
=> C sai, vì đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox < => |b| = |m| = 2 ⇔ m = ±2
Đáp án: C.
Ví dụ 9. Đường tròn x2 + y2 + 4y = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A. x - 2 = 0 B. x + y - 3 = 0 C. x + 2 = 0 D. Trục hoành.
Bài giải:
Đường tròn có tâm I (0; -2), bán kính R = 2.
– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ1): x - 2 = 0
d (I, Δ1) =
– Tương tự: ( C) tiếp xúc (Δ2): x + 2 = 0; ( C) tiếp xúc trục hoành Ox: y= 0
– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ3):
d (I, Δ3) =
⇒ (C) không tiếp xúc (Δ3)
Đáp án: B.
Ví dụ 10. Phương trình đường tròn (C) đi qua điểm M (2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy là... ?
A. (x + 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặc (x + 5)2 + (y - 5)2 = 25
B. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1
C. ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
D. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặc (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
Bài giải:
Gọi I là tâm đường tròn có tọa độ: I (a; b)
Do đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R = d (I; Ox) = d (I; Oy)
⇔ R = |a| = |b|.
Vì đường tròn đi qua điểm M (2; -1) thuộc góc phần tư thứ tư (IV) nên:
a = - b và a > 0 ⇒ I (a; -a)
Ta có: R = IM ⇔ R2 = IM2 ⇔ a2 = (a - 2)2 + (-a + 1)2
⇔ a2 = a2 - 4a + 4 + a2 - 2a + 1
⇔ a2 - 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5
+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I (1; -1) và bán kính R = 1
⇒ Phương trình (C): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1.
+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I (5; -5) và bán kính R = 5
⇒ Phương trình đường tròn là: (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
Đáp án: D.
Ví dụ 11: Tìm giá trị của m để đường thẳng ∆: 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 - 9 = 0.
A. m = -3 B. m = 3 và m = -3. C. m = 3 D. m = 15 và m = -15
Bài giải:
Đường tròn (C) có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.
Để ∆ tiếp xúc (C) < => d (I, Δ) = R ⇔
⇔
Đáp án: D.
Ví dụ 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?
A. x2 + y2 - 2x - 10y = 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0
C. x2 + y2 - 10y + 1= 0 D. x2 + y2 - 5 = 0
Bài giải:
Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox < => khoảng cách từ tâm đường tròn I (a; b) đến trục Ox: y = 0 là bằng R.
⇔ |b|=R
+ Phương án A: Đường tròn có: a = 1; b = 5 và c = 0 nên bán kính đường tròn là
R =
⇒ |b| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với trục Ox.
+ Phương án B là đường tròn có a = -3; b = 5/2 và c = 9
⇒ R =
⇒ |b| = R nên đường tròn này tiếp xúc với trục Ox.
+ Tương tự các đường tròn ở phương án C và D không tiếp xúc với trục Ox
Đáp án: B.
Ví dụ 13. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?
A. x2 + y2 - 10y + 1= 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y - 1 = 0
C. x2 + y2 - 2x = 0 D. x2 + y2 - 5 = 0
Bài giải:
Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I (a; b) đến trục Oy: x= 0 là bằng R.
⇔ |a| = R.
+ Phương án A: Là đường tròn có a = 0; b = 5 và c = 1 nên bán kính
R =
⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.
+ Phương án B: là đường tròn có a = -3; b = - 5/2 và c = - 1 nên
R =
⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.
+ Phương án C: là đường tròn có a = 1; b = 0; c = 0 nên R = 1
⇒ |a| = R nên đường tròn này tiếp xúc với Oy.
Đáp án: C.
Ví dụ 14: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 5 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (a): x + 2y - 15 = 0 là?
A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0 B. x + 2y = 2 và x + 2y + 8 = 0
C. x + 2y + 2 = 0 và x + 2y - 8 = 0 D. tất cả sai
Bài giải:
Đường tròn (C) có tâm I (-1; 3) và bán kính R =
Do tiếp tuyến d song song với đường thẳng a nên d có dạng: x + 2y - m = 0
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi:
d (I, d) = R ⇔
Đáp án: A.
Ví dụ 15. Phương trình đường tròn (C) có tâm I (-2; - 3) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x - 4y - 1 = 0 là... ?
A. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4
C. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D. ( x + 2)2 + (y + 3)2 = 4
Bài giải:
Ta có: Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:
d (I; d) =
Mà đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d nên: R = 1
⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1
Đáp án: A.
Ví du 16. Phương trình đường tròn (C) có tâm I (2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 6x - 8y + 22 = 0 là... ?
A. ( x + 2)2 + (y - 3)2 = 4 B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1
C. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 9 D. Tất cả sai
Bài giải:
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:
d (I; d) =
Mà đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R= 1
⇒ Đường tròn (C) có phương trình là: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1
Đáp án: B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn x2 + y2 = 1 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây
A. x + y = 0 B. 3x + 4y - 1 = 0. C. 3x - 4y + 5 = 0. D. x + y - 1 = 0.
Đáp án: C
Đường tròn (C) có tâm O (0; 0), bán kính R= 1.
– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ1): x + y = 0
d (O, Δ1) =
– Tương tự, ( C) không tiếp xúc (Δ2): 3x + 4y - 1 = 0; (Δ3): x + y - 1 = 0;
– Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (Δ4): 3x - 4y + 5 = 0
d (O, Δ4) =
Câu 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0.
A. 2x + y + 1 = 0 hoặc 2x + y - 1 = 0 B. 2x + y = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0
C. 2x + y + 10 = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0 hoặc 2x + y + 10 = 0
Đáp án: B
+ Đường tròn (C) có tâm I (3; -1) và bán kính R = √ 5.
+ Do tiếp tuyến ∆ // d: 2x + y + 7 = 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:
∆: 2x + y + c = 0 (với c ≠ 7).
+ Do đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R: R = d (I; ∆).
⇔
⇔
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x + y = 0 và 2x + y - 10 = 0
Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y - 17 = 0, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0.
A. 3x - 4y + 23 = 0 hoặc 3x - 4y - 27 = 0
B. 3x - 4y + 23 = 0 hoặc 3x - 4y + 27 = 0
C. 3x - 4y - 23 = 0 hoặc 3x - 4y + 27 = 0
D. 3x - 4y - 23 = 0 hoặc 3x - 4y - 27 = 0
Đáp án: A
+ Đường tròn (C) có tâm I (-2; -2) và bán kính R =
+ Do tiếp tuyến ∆ của đường tròn song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0 nên đường thẳng ∆ có dạng: ∆ 3x - 4y + c = 0 (với c ≠ -2000)
+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng bán kính R: d (I; ∆) = R
⇔
⇔
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: 3x - 4y + 23 = 0 và 3x - 4y - 27 = 0
Câu 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 3 = 0.
A. 4x + 3y + 14 = 0 hoặc 4x + 3y - 36 =0
B. 4x + 3y + 14 = 0
C. 4x + 3y - 36 = 0
D. 4x + 3y -14 = 0 hoặc 4x + 3y + 36 = 0
Đáp án: A
+ Đường tròn (C) có tâm I (2; 1) và bán kính R= 5.
+ Đường thẳng d có VTPT nd→( 3; -4)
+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên tiếp tuyến nhận nd→( 3; -4) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là: n→( 4; 3).
⇒ Tiếp tuyến ∆ có dạng: 4x + 3y + c = 0
+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên: d (I; ∆) = R
⇔
⇔
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: 4x + 3y + 14 = 0 và 4x + 3y - 36 = 0
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0.
A. 4x - 3y + 5 = 0 hoặc 4x - 3y - 45 = 0 B. 4x + 3y + 5 = 0 hoặc 4x + 3y + 3 = 0
C. 4x + 3y + 29 = 0 D. 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y- 21 = 0
Đáp án: D
+ Đường tròn (C) có tâm I (2; -4) và bán kính R= 5.
+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhận nd→(3; - 4) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→( 4; 3).
⇒ Phương trình ∆ có dạng: 4x + 3y + c = 0
+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên d (I; ∆) = R
⇔
⇔
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y - 21 = 0
Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 4x - 2y - 8 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x - 3y + 2018 = 0.
A. 3x + 2y - 17 = 0 hoặc 3x + 2y - 9 = 0 B. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 = 0
C. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y - 9 = 0 D. 3x + 2y - 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 = 0
Đáp án: C
+ Đường tròn (C) có tâm I (-2; 1) và bán kính R =
+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhận nd→(2; -3) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→( 3; 2).
⇒ Phương trình ∆ có dạng: 3x + 2y + c = 0
+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên d (I; ∆) = R
⇔
⇔ |c - 4| = 13 ⇔
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là 3x + 2y + 17 = 0 và 3x + 2y - 9 = 0
Câu 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với trục hoành.
A. x = 0 B. y = 0 hoặc y - 4 = 0.
C. x = 0 hoặc x - 4 = 0 D. y = 0
Đáp án: C
+ Đường tròn (C) có tâm I (2; 2) và bán kính R =
+ Trục hoành có phương trình là ∆: y = 0.
+ Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với trục hoành nên nhận n∆→(0; 1) làm VTCP. Suy ra một VTPT của đường thẳng d là: n→( 1; 0).
⇒ đường thẳng d có dạng: x + c = 0
+ Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nên d (I; d) = R
⇔
⇔
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: x = 0 và x - 4 = 0
Câu 8: Phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A (2; 4) và tiếp xúc với các trục tọa độ là?
A. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặc (x - 10)2 + (y - 10)2 = 100
B. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 hoặc (x - 10)2 + (y - 10)2 = 100
C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 hoặc (x + 10)2 + (y + 10)2 = 100
D. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặc (x + 10)2 + (y + 10)2 = 100
Đáp án: A
Gọi phương trình đường tròn (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2
Do đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên |a| = |b| = R
Lại có điểm A (2; 4)∈ (C) và A nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tâm I cũng ở góc phần tư thứ nhất.
Suy ra a = b = R.
Vậy phương trình đường tròn có dạng: (x - a)2 + (y - a)2 = a2 (C).
Do A (2; 4)∈ (C)nên (2 - a)2 + (4 - a)2 = a2 ⇔ 4 - 4a + a2 + 16 - 8a + a2 = a2
⇔ a2 - 12a + 20 = 0
Câu 9: Đường tròn (C) có tâm I (-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 có phương trình là
A. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4 B. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 2
C. (x + 1)2 - (y - 3)2 = 10 D. (x - 1)2 + (y - 3)2 = 2
Đáp án: A
Do đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng bán kính R.
⇒ Đường tròn có bán kính R = d (I, d) =
Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4
Câu 10: Có một đường tròn đi qua hai điểm A (1; 3), B (-2; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Khi đó
A. phương trình đường tròn là x2 + y2 - 3x + 2y - 8 = 0.
B. phương trình đường tròn là x2 + y2 + 3x - 4y + 6 = 0.
C. phương trình đường tròn là x2 + y2 - 5x + 7y + 9 = 0.
D. Không có đường tròn nào thỏa mãn bài toán.
Đáp án: D
Đặt f (x; y) = 2x - y + 4.
Ta có: f (1; 3) = 2.1 - 3 + 4 = 3 > 0 và f (-2; 5) = 2. (-2) - 5 + 4 = - 5 < 0.
⇒ f (1; 3).f (- 2; 5) < 0
⇒ A và B nằm khác phía đối với đường thẳng d; do đó không có đường tròn nào thỏa điều kiện đề bài.
Câu 11: Đường tròn (C) có tâm I (-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là
A. (- 1/5 ; -7/5)
B. ( 1/5; 7/5)Đáp án: B
Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại H nên IH và d vuông góc với nhau.
Đường thẳng IH: qua I (-1; 3) và nhận VTCP (3; -4) nên có VTPT n→( 4; 3) nên có phương trình là:
4 (x + 1) + 3 (y - 3) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.
Ta có: IH và d cắt nhau tại H nên tọa độ của H là nghiệm hệ:
Câu 12: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(1) Đường tròn (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 tiếp xúc với trục tung.
(2) Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.
A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. Cả (1) và (2). D. Không có.
Đáp án: B
+ (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 có tâm I (-2; 3) và R = 3
Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên (1) sai.
+ Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tâm J (3; -3) và R = 3.
Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (2) đúng.
Câu 13: Đường tròn (C) đi qua điểm M (2; 1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy có phương trình là:
A. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặc (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
B. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặc (x + 5)2 + (y + 5)2 = 25
C. (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
D. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1
Đáp án: A
Do đường tròn tiếp xúc hai trục tọa độ và đi qua điểm M (2; 1) thuộc góc phần tư thứ (I) nên tọa độ tâm I (a; a) với a > 0 và bán kính đường tròn là R = a.
Vì đường tròn đi qua điểm M nên R= IM ⇔ R2 = IM2
⇔ a2 = (a - 2)2 + (a - 1)2 ⇔ a2 = a2 - 4a + 4 + a2 - 2a + 1
⇔ a2 - 6a + 5 = 0
⇔
+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I (1; 1) và bán kính R = a = 1
⇒ Phương trình đường tròn: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1
+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I (5; 5) và bán kính R = a = 5
⇒ Phương trình đường tròn: (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
Câu 14: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?
A. x2 + y2 - 10x + 2y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 4y - 5 = 0
C. x2 + y2 - 1 = 0 D. x2 + y2 + x + y - 3 = 0
Đáp án: A
Phương trình trục Oy là x = 0.
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đó bằng R.
– Tâm và bán kính của x2 + y2 - 10x + 2y + 1 = 0 là I1( 5; -1) và R1 = 5.
Khoảng cách d (I1; Oy) = 5 = R1
⇒ đường tròn này tiếp xúc Oy.
– Tâm và bán kính của x2 + y2 - 4y - 5 = 0 là I2( 0; 2) và R2 = 3
Khoảng cách d (I2; Oy) = 0 < 3
⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy.
– Tâm và bán kính của x2 + y2 - 1 = 0 là I3 (0; 0) và R3 = 1
Khoảng cách d (I3; Oy) = 0 ≠ R3
⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy.
– Tâm và bán kính của x2 + y2 + x + y - 3 = 0 là I4( -
Khoảng cách d (I4 =
Câu 15: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): (x - m)2 + y2 = 9
A. m = 0 và m = 1. B. m = 4 và m = -6 C. m = 2 D. m = 6
Đáp án: B
Ta có (C) có tâm I (m; 0) và bán kính R = 3.
Để đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R:
d (I; Δ) = 3 ⇔
⇔
Vậy để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì m = 4 hoặc m = -6.
Câu 16: Đường tròn x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A. Trục tung. B. 4x + 2y - 1 = 0. C. Trục hoành. D. 2x + y - 4 = 0.
Đáp án: A
+ Đường tròn có tâm I (2; 1) và bán kính R = 2. Ta tính khoảng cách từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh R.
* Xét trục tung Oy: x = 0 có d (I; Oy) = 2 = R nên đường tròn tiếp xúc trục tung Oy.
* Xét đường thẳng ∆: 4x + 2y - 1 = 0 có d (I, Δ) =
* Xét trục hoành Ox: y = 0 có d (I, Ox) = 1 ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc với trục hoành.
* Xét đường thẳng d: 2x + y - 4 = 0 có d (I, D) =