Trang chủ > Lớp 10 > Chuyên đề Toán 10 (có đáp án) > Dạng 9: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Dạng 9: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0

Bài giải:

Ta thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta được:

2 (x2 + 1/x2) - 5 (x + 1/x) + 6 = 0

Đặt t = x + 1/x

⇒ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2 = t2 - 2

Ta có phương trình: 2 (t2 - 2) - 5t + 6 = 0

⇔ 2t2 - 5t + 2 = 0 ⇔

+ t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

+ t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x2 - x + 2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình x (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Bài giải:

Phương rình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Đặt t = x2 + 3x, phương trình trở thành

t (t+2) = 24 ⇔ t2 + 2t - 24 = 0 ⇔

+ t = -6 ⇒ x2 + 3x = -6 ⇔ x2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

+ t = 4 ⇒ x2 + 3x = 4 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔

Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

Bài 3: Giải phương trình 4 (x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2

Bài giải:

Phương trình tương đương với 4 (x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x2 ta có

(*)⇔ 4 (x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

4 (y+1)y = 3 ⇔ 4y2 + 4y - 3 = 0 ⇔

Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 = 0

⇔

Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x2 + 35x + 120 = 0

⇔

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

Bài 4: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 2

Bài giải:

Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)4 + (t+1)4 = 2 ⇔ t4 + 6t2 = 0 ⇔ t2(t2 + 6) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra x = -2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Bài 5: Giải phương trình:

Bài giải:

Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

Đặt u = (x+1)/ (x-2); v = (x-2)/ (x-3) ta được u2 + uv = 12v2

⇔ (u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

+) u = 3v ⇔ (x+1)/ (x-2) = 3 (x-2)/ (x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = 3x2 - 12x + 12

⇔ 2x2 - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √ 46)/2

+) u = -4v ⇔ (x+1)/ (x-2) = -4 (x-2)/ (x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = -4x2 + 16x - 16

⇔ 5x2 - 12x + 19 = 0 (Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √ 46)/2