Trang chủ > Lớp 10 > Chuyên đề Toán 10 (có đáp án) > Dạng 5: Nghiệm của phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Dạng 5: Nghiệm của phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình x2 - 3x - 5 = 0. Tính tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình?

Bài giải:

Phương trình: x2 - 3x - 5 = 0 (*),

Có Δ = (-3)2 - 4. (-5) = 29 > 0

=> PT (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức Viet, ta có:


Vậy tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình = 72.

Bài 2: Giả sử phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1 và x2. Tính giá trị biểu thức: P = 3x1x2 - 5 (x1 + x2) theo m.

Bài giải:

Theo định lý Viet, ta có:

Thay vào P, ta được P = 3 (m2 + 2) - 5 (2m + 1) = 3m2 - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình: 2x2 - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2|

Bài giải:

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = - (-4a/2) = 2a và x1.x2 = -1/2 (1)

Mà T = |x1 - x2| ⇔ T2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra T2 = (2a)2 -4. (-1/2) = 4a2 + 2

⇒ T = √ (4a2 + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Bài giải:

Gọi x0 là một nghiệm của phương trình: x2 - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x0 là một nghiệm của phương trình: x2 + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ


Thay (2) vào (1), ta được: x02 - (x02 - 8x0 + 15)x0 + 2 = 0

cho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 2 (m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số). Xác định m để biểu thức P = x1x2 - 2 (x1 + x2) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

Ta có: Δ ' = (m + 1)2 - (m2 + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2. (*)

Theo định lý Viet, ta có:

Khi đó P = m2 + 2 - 2 (2m + 2) - 6 = m2 - 4m -8

Dấu " = " xảy ra < => m = 2.

Vậy với m = 2 biểu thức P đã cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - (2m+1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên.

Bài giải:

Ta có: Δ = (2m + 1)2 - 4 (m2 + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có


Khi đó


Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 => 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)