Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính - Chuyên đề Toán 10
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1). Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là:
A. a2 + b2 - 4c > 0. B. a2+ b2 - c > 0. C. a2+ b2 - c2 > 0. D. a2+ b2 - 2c > 0.
Bài giải:
Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
< => (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c
Vậy điều kiện để phương trình (1) là phương trình đường tròn là: a2 + b2 - c > 0.
Đáp án: B.
Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là gì?
A. 2a2 + 2b2 - c > 0. B. a2 + b2 - 2c > 0. C. a2 + b2 - 4c > 0. D. a2 + b2 + c > 0.
Bài giải:
Ta có: x2 + y2 - ax - by + c = 0 (1)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:
Đáp án: C.
Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) x2 + y2 – 4x + 15y - 12 = 0.
(II) x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0.
(III) 2x2 + 2y2 - 4x + 6y + 1 = 0.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).
Bài giải:
Ta xét các phương án:
(I) có: a2 + b2 - c = 4 +
(II) có: a2 + b2 - c =
(III) tương đương: x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0.
phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 +
Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.
Đáp án: D.
Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(1) Đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I (1; -2) bán kính R = 3.
(2) Đường tròn (C2) x2 + y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I (
A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. cả hai D. Không có.
Bài giải:
Ta có: đường tròn (C1): a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R =
Vậy (1) đúng
Đường tròn (C2): a = 5/2, b = - 3/2 ⇒ I (5/2; - 3/2); R =
Vậy (2) đúng.
Đáp án: C.
Ví dụ 5. Tính bán kính đường đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0?
A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4
Bài giải:
Phương trình đã cho tương đương: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0
Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =
Đáp án: A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 3 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. tâm I (2; 0) B. bán kính R = 1
C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm. D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.
Bài giải:
Cho x = 0 ta được: y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.
Đáp án: D.
Ví dụ 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Tìm mệnh đề sai?
A. (C) không đi qua điểm O. B. tâm I (-4; -3).
C. bán kính R = 4. D. (C) đi qua điểm M (-1; 0).
Bài giải:
+ Ta có a = -4; b = -3; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0
=> (C) là đường tròn tâm I (-4; -3) và R = 4
Vậy mệnh đề B và C đúng.
+ Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí. => A đúng.
+ Thay M (-1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8. (-1) + 6.0 + 9 = 0 (vô lý)=> D sai.
Đáp án: D.
Ví dụ 8. Tìm bán kính đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0?
A. 6 B. 2 C. 4 D. √ 6
Bài giải:
Ta có: Hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R =
Đáp án: A.
Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Bài giải:
Xét phương trình: x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.
Phương trình đã cho là phương trình đường tròn
< => a2 + b2 - c > 0 hay m2 + (-2)2 - 4 > 0
⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Đáp án: C.
Ví dụ 10: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I (2; 4)?
A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Bài giải:
Xét phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có: a = m; b = -2n và c = -4
Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I (m; -2n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I (2; 4) khi và chỉ khi:
Đáp án: B.
Ví dụ 11. Cho phương trình: x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Xác định m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4
Bài giải:
Phương trình: x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có: a = -1; b = m/2 và c = 1
Phương trình trên là phương trình đường tròn
⇔ a2 + b2- c > 0
⇔ 1 +
⇔
Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:
R =
⇔
Đáp án: A.
Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. 4x2 + y2 – 10x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0
C. x2 + 2y2 - 4y - 8y + 1 = 0 D. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
Bài giải:
Xét phương trình dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a; b; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 - c > 0.
+ Xét phương án D: Có a = 2; b = 3 và c = -12
⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0
⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.
+ Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại A và C.
+ Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0. (loại)
Đáp án: D.
Ví dụ 13. Cho phương trình: x2 + y2 + 2mx + 2 (m - 1)y + 2m2 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. m < 1/2 B. m ≤ 1/2 C. m > 1 D. m = 1
Bài giải:
Xét phương trình: x2 + y2 + 2mx + 2 (m - 1)y + 2m2 = 0
⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2
Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + (1 - m)2 - 2m2 > 0
⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0
⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m < 1/2
Đáp án: A.
Ví dụ 14. Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx - 4 (m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Xác định điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. Đúng mọi m B. m ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)
C. m ∈ (-∞; 1] ∪ [2; +∞) D. Đáp án khác
Bài giải:
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4 (m - 2)y + 6 - m = 0 có: a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m
Phương trình trên là phương trình đường tròn
⇔ a2 + b2 - c > 0.
⇔ m2 + (2m - 4)2 - (6 - m) > 0
⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)
Đáp án: B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
A. (8; -4) B. ( 4; -2) C. ( -4; 2) D. (2; -1)
Đáp án: D
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0
Ta có:
Câu 2: Trong các phương trình cho sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0 B. x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0
C. 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 D. 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0
Đáp án: C
Ta xét các phương án:
+ Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
+ Phương án A: có a = -1; b = 2 và c = 9
⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0
⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.
+ Phương án B: có a = 3; b = -2; c = 13
⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0
⇒ loại B.
+ Phương án C:
2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -3
⇒ a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0
⇒ Đây là phương trình đường tròn
Câu 3: Cho đường cong (C): x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Tìm giá trị của m để (C) là đường tròn có bán kính bằng 7?
A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8 D. m = -2
Đáp án: C
Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.
Bán kính đường tròn là: R =
Để bán kính đường tròn là 7 thì:
⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8
Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2 (m + 1)x - 2 (m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn < =>
A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1 D. m < - 1 hoặc m > 1.
Đáp án: D
Ta có:
x2 + y2 - 2 (m + 1)x - 2 (m + 2)y + 6m + 7 = 0 (1)
⇔ x2 - 2 (m + 1)x + (m + 1)2 + y2 - 2 (m + 2)y + (m + 2)2 - (m + 1)2 - (m + 2)2 + 6m + 7 = 0
⇔ [x - (m + 1)]2 + [y - (m + 2)]2 = 2m2 - 2)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔
Câu 5: Xác định m để phương trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
A. m < - 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2 D. m < - 2
Đáp án: C
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0 (1)
⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ (x - m)2 + (y - 2)2 = m2 - 4
Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:
m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2
Câu 6: Cho 2 mệnh đề
(I) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b), bán kính R.
(II) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I (a; b).
Tìm mệnh đề đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả (I) và (II) đều sai. D. Cả (I) và (II).
Đáp án: A
(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Câu 7: Tìm mệnh đề đúng?
(I) Đường tròn (C1) có tâm I (1; -2) bán kính R = 3.
(II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. (I) và (II). D. Không có.
Đáp án: C
Xét đường tròn (C1) có: a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R =
Vậy (1) đúng
Đường tròn (C2): a = 5/2
, b = -3/2 ⇒ I (5/2; - 3/2
); R =
Vậy (2) đúng.
Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Tìm mệnh đề sai?
A. ( C) không đi qua điểm O (0; 0). B. ( C) có tâm I (-4; -3).
C. ( C) có bán kính R = 4. D. ( C) đi qua điểm M (-1; 0).
Đáp án: D
Đường tròn (C)có:
a = -4, b = -3 ⇒ I (-4; -3); R =
Thay O (0; 0) vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 (vô lý).
⇒ đường tròn (C) không đi qua điểm O. Vậy A đúng.
Thay M (-1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8. (-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 (vô lý).
⇒ Đường tròn (C) không đi qua điểm M (-1; 0). Vậy D sai.
Câu 9: Cho đường tròn (C) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0. Tìm mệnh đề đúng?
A. ( C) không cắt trục Oy. B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.
C. ( C) có tâm I (2; -4). D. ( C) có bán kính R = √ 19.
Đáp án: B
+ Ta viết lại phương trình đường tròn (C) ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y + 1/2 = 0
⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I (1; -2); R =
Vậy C; D sai.
+ Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =
Do đó (C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai
+ Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =
Do đó (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng
Câu 10: Tìm bán kính đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0?
A. 10 B. 25 C. 5 D. √ 10.
Đáp án: C
Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0
⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:
R =
Câu 11: Tính bán kính đường tròn x2 + y2 – 5y = 0?
A. √ 5 B. 25 C. 5/2 D. 25/2
Đáp án: C
Đường tròn có a = 0; b = 5/2 và c = 0.
⇒ Bán kính đường tròn là: R =
Câu 12: Tìm tâm đường tròn x2 + y2 +
A. (0;
Đáp án: B
Ta có:
Câu 13: Tìm tâm đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0?
A. (-2; 1) B. (8; -4) C. (-8; 4) D. (2; -1)
Đáp án: D
Ta có (C): 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0
⇔ x2 + y2 - 4x + 2y -
⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I (2; -1).
Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Xác định điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Đáp án: C
Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 - 9 > 0
⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I (-6; 8)?
A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Đáp án: B
Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:
a = 3m; b = -4n và c = -1
Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I (3m; -4n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I (2; 4) khi và chỉ khi:
Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
A. x2 + y2 - x - y + 9 = 0. B. x2 + y2 - x = 0
C. x2 + y2 - 2xy – 1 = 0 D. x2 - y2 - 2x + 3y - 1 = 0
Đáp án: B
Loại C vì có số hạng -2xy.
Phương án A: a = b = 1/2 , c = 9
⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.
Phương án D: loại vì có – y2.
Phương án B: a = 1/2 , b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn.
Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?
A. Không có. B. 6 C. 7 D. Vô số
Đáp án: C
Phương trình: x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có: a = 1; b = -m và c = 10
Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0
⇔ m2 - 9 > 0 ⇔
⇒ Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là: m ∈ {4; 5; 6; 7; …; 10}
Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2 (m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2
Đáp án: B
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 2 (m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số:
a = m + 1; b = - 2 và c = -1
Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0
⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔ (m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0
Vậy với mọi m (1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính:
R =
⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min
⇔ m + 1 = 0 hay m = -1