Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng - Chuyên đề Toán 10

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): x² + y² – 4x - 6y + 5 = 0. Hỏi có mấy điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn?

A. 2 B. 5 C. 4 D. 7

Bài giải:

Xét phương trình (C) với ẩn y; x là tham số

y² - 6y + (x² - 4x + 5) = 0

Phương trình trên có nghiệm < => ∆' ≥ 0

⇔ 9 - x² + 4x - 5 ≥ 0

⇔ x² - 4x - 4 ≤ 0

⇔ 2 - √ 8 ≤ x ≤ 2 + √ 8

⇒ Các điểm M (x; y) thuộc (C) có hoành độ nguyên là 0; 1; 2; 3; 4 ta có:

X	0	1	2	3	4
Y	1 hoặc 5	y không nguyên	y không nguyên	y không nguyên	1 hoặc y = 5

Suy ra tồn tại 4 điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên là: (0; 1); (0; 5); (4; 1) và (4; 5)

Đáp án: C.

Ví dụ 2: Xác định tọa độ điểm M thuộc (C): x² + y² – 4x - 6y + 11 = 0 sao cho MA lớn nhất, biết tọa độ của A (3; 2).

A. M (- 2; 8) B. M (9; 2) C. M (1; 4) D. M (3; 8)

Bài giải:

- Nhận xét: Đường tròn (C) có tâm I (2; 3).

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta được:

3² + 2² - 4.3 - 6.2 + 11 = 0 (đúng)

⇒ Điểm A thuộc đường tròn (C).

⇒ Để MA đạt lớn nhất thì MA là đường kính

⇒ M đối xứng với A qua I hay I là trung điểm của MA.

Tọa độ điểm M là: ⇒ M (1; 4)

Đáp án: C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y - 3)² = 5. Xác định trên (C) điểm M sao cho
MB = 4 biết rằng B (1; 5)?

A. M (1; - 1) B. M (11/5; 13/5) C. M (-31/5; 13/5) D. Đáp án khác

Bài giải:

Gọi điểm M có tọa độ (x₀; y₀).

Vì M nằm trên đường tròn (C) => (x₀ – 2)² + (y₀ - 3)² = 5

Hay x₀² - 4x₀ + y₀² - 6y₀ + 8 = 0 (1)

Theo giả thiết BM = 4 nên BM² = 16

⇔ (x₀ - 1)² + (y₀ - 5)² = 16

Hay x₀² - 2x₀ + y₀² - 10y₀ + 10 = 0 (2)

Lấy (2) - (1) ta được: 2x₀ – 4y₀ + 2 = 0

⇔ x₀ - 2y₀ + 1 = 0

⇔ x₀ = 2y₀ – 1

Thay vào (1) ta được:

( 2y₀ - 1)² – 2 (2y₀ – 1) + y₀² - 10y₀ + 10 = 0

⇔ 5 y₀² - 18y₀ + 13 = 0

⇔

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M (1; 1) và M (21/5; 13/5).

Đáp án: D.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x - 3)² + (y - 2)² = 5. Xác định điểm E thuộc đường tròn sao cho tam giác OEF vuông tại O, biết điểm F (4; - 2)?

A. E₁ (2; 4) và E₂ ( 4/5; 8/5) B. E₁(1; - 4) và E₂ (4/5; 8/5).

C. E₁ (3; - 6) và E₂ ( -9/5; 8/5) . D. E₁(2; 4) và E₂ ( 9/5; -7/5)

Bài giải:

+ Do tam giác OEF vuông tại O nên OE vuông OF.

+ Đường thẳng OE:

⇒ Phương trình OE: 2 (x - 0) – 1 (y - 0) = 0 hay 2x - y = 0.

+ Đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại E nên tọa độ E là nghiệm hệ

Vậy có hai điểm thỏa mãn là E₁ (2; 4) và E₂ (4/5; 8/5).

Đáp án: A.

Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC biết tọa độ điểm B (2; m) và C (n; 1). Xác định tọa độ điểm B? Biết rằng là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn?

A. B (2; 1) B. B (2; 2) C. B (2; -1) D. B (2; -3)

Bài giải:

+ Do góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc = 90⁰.

⇒ Tam giác BAC vuông tại A và BC là đường kính.

⇒ O (0; 0) là trung điểm của BC.

⇒

Suy ra, tọa độ điểm B (2; -1) và điểm C (-2; 1)

Đáp án: C.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C): x² + y² - 4x + 4y - 2 = 0; đường thẳng ∆: x + y - 2 = 0. Tìm trên d điểm A sao cho từ A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn (C)?

A. ( 1,1) B. ( 2; 0) C. ( 3; -1) D. (1; 1) hoặc (5; -3)

Bài giải:

+ Đường tròn (C) tâm I (2; -2) và bán kính R = 3.

- Nhận xét:

+ Nếu A nằm trong hình tròn (C) thì qua A không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

+ Nếu A nằm trên đường tròn (C) thì qua A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn.

+ Nếu A nằm bên ngoài hình tròn (C) thì qua A kẻ được hai tiếp tuyến nào với đường tròn.

Theo bài ra ta có: Từ điểm A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn (C) thì điểm A nằm trên đường tròn.

⇒ A là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng d. Nên tọa độ A là nghiệm hệ:

Giải (*):

(*) ⇔ 4 - 4y + y² + y² – 8 + 4y + 4y - 2 = 0

⇔ 2y² + 4y - 6 = 0

⇔

Vậy có 2 điểm A thỏa mãn đề bài là (1; 1) và (5; -3)

Đáp án: D.

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 2x + 4y + 4 = 0, tâm I và điểm M (- 1; - 3). Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

A. x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0 B. x + 2y - 7 = 0 và x - 3y - 20 = 0

C. 2x + y - 3 = 0 và x - 7y - 20 = 0 D. x - 4y = 0 và x + 2y - 20 = 0

Bài giải:

+ Đường tròn (C), tọa độ tâm I (1; -2); bán kính R = 1

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: a (x + 1) + b (y + 3) = 0 (*)

+ Do A và B là 2 điểm thuộc đường tròn (C) nên IA = IB = R = 1

Diện tích tam giác IAB là:

S_IAB = 1/2 IA. IB. sin () = 1/2.1.1. sin () ≤ 1/2

⇒ S_IAB lớn nhất < => = 90⁰ ⇒ IH = với H là hình chiếu I lên Δ

=> d (I; Δ) = IH =

⇔

⇔ 2 (2a + b)² = a² + b²

⇔ 7a² + 8ab + b² = 0

⇔

+ Nếu a = - 1/7b. Chọn b = - 7 => a = 1 thay vào (*) ta được phương trình đường thẳng ∆:

1 (x + 1) – 7 (y + 3) = 0 hay x - 7y - 20 = 0

+ Nếu a = - b; chọn a = 1; b = -1 thay vào (*) ta được phương trình đường thẳng ∆ là:

1 (x + 1) - 1. (y + 3) = 0 hay x - y - 2 = 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là: x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0.

Đáp án: A

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x² + y² – 4x - 6y = 0 và (C’): x² + y² + 4x = 0. Một đường thẳng đi qua giao điểm của (C) và (C') lần lượt cắt lại (C) và (C') tại M và N. Lập phương trình đường thẳng khi MN đạt giá trị lớn nhất.

A. 2x - y = 0 và x + 4y + 12 = 0 B. 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

C. x + y - 10 = 0 và 3x - y + 12 = 0 D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Đường tròn (C) có tâm I (2; 3) và bán kính R = √ 13

+ Đường tròn (C') có tâm J (- 2; 0) và bán kính R’ = 2.

⇒ IJ = 5 => |R - r| < IJ < R + r

⇒ Đường tròn (C) cắt (C') tại hai điểm A, B

+ Xétđường thẳng ∆ bất kì qua A cắt (C) và (C') tại M và N. Gọi ∆' là đường thẳng qua A vuông góc với AB, cắt (C), (C') lần lượt tại C và D. Gọi K, H lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆'. Gọi P, Q lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆.

=> Ta có: MN = 2PQ ≤ 2IJ = 2KH = CD

⇒ MN_max = CD.

+ Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:

Từ đó suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn:

- (∆₁):

⇒ Phương trình: 3 (x - 0) – 4 (y - 0) = 0 hay 3x - 4y = 0

- (∆₂):

⇒ Phương trình: 3 (x + 36/25) - 4 (y - 48/25) = 0 hay 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài là: 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

Đáp án: B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho phương trình đường cong: x² + y² + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0 (*). Xác đinh mệnh đề sai trong các đáp án sau?

A. ( C_m) là phương trình của đường tròn với mọi m.

B. Tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi là đường thẳng x + y - 1 = 0

C. Khi m thay đổi họ các đường tròn (C_m) có đúng một điểm cố định.

D. Họ các đường tròn (C_m) luôn đi qua điểm M (1; 2) với mọi m.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

+ Ta có a² + b² - c = - m - 1 = > 0

Suy ra (*) là phương trình đường tròn với mọi m

+ Đường tròn có tâm I: suy ra x_I + y_I - 1 = 0

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng ∆: x + y - 1 = 0

+ Gọi M (x₀; y₀) là điểm cố định mà họ (C_m) luôn đi qua.

Khi đó ta có: x₀² + y₀² + (m + 2)x₀ - (m + 4)y₀ + m + 1 = 0, ∀m

⇔ (x₀ - y₀ - 1)m + x₀² + y₀² + 2x₀ - 4y₀ + 1 = 0,  ∀m

⇔

Vậy có hai điểm cố định mà họ (C_m) luôn đi qua với mọi m là A (- 1; 0) và M (1; 2)

Câu 2: Cho hai điểm A (8; 0) và B (0; 6). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB?

A. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 B. (x - 2)² + (y + 2)² = 1

C. ( x - 1)² + (y + 1)² = 1 D. (x - 2)² + (y - 2)² = 9

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Ta có: OA = 8; OB = 6 và AB = = 10.

Mặt khác 1/2 OA. OB = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC)

Suy ra r = = 2

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB

⇒ đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên |a| = |b| = r = 2

Mà đường tròn có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất nên a > 0; b > 0

⇒ a = b = r = 2

Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB là I (2; 2) bán kính đường tròn nội tiếp là
r = 2.

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là

(x - 2)² + (y – 2)² = 4

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: √ 3x + y = 0 và
d₂: √ 3x - y = 0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d₂ tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

A. (x - )² + (y + )² = 4 B. (x + )² + (y + )² = 1

C. (x + )² + (y - )² = 1 D. (x - )² + (y - )² = 1

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Vì A ∈ d₁ ⇒ A (a; -√ 3a), a > 0; B, C ∈ d₂ ⇒ B (b; √ 3b), C (c; √ 3c)

Suy ra AB→(b - a; √ 3 (a + b)), AC→(c - a; √ 3 (c + a))

+ Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.

Do đó AC ⊥ d₁ ⇒ AC→.u₁→ = 0 ⇔ -1. (c - a) + √ 3. √ 3 (a + c) = 0 ⇔ 2a + c = 0 (1)

AB ⊥ d₂ ⇒ AB→.u₂→ = 0 ⇔ 1. (b - a) + 3 (a + b) = 0 ⇔ 2b + a = 0 (2)

Mặt khác S_ABC = 1/2 d (A; d₂). BC ⇒

⇔ 2a|c - b| = 1 (3)

Từ (1), (2) suy ra 2 (c - b) = - 3a thế vào (3) ta được a|-3a| = 1

⇔ a =

Do đó b = - , c = -

⇒ A (; -1), C (- ; -2)

Suy ra (C) nhận I (- ; - ) là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R = = 1

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x + )² + (y + )² = 1

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB; AC theo thứ tự có phương trình x + y - 2 = 0 và x + 3y - 4 = 0. Cạnh BC có trung điểm M (- 1; 1). Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. ( - 5; - 7) B. ( 4; - 3) C. ( - 7; 3) D. (1; 3)

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ

⇒ A (1; 1)

+ Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó MP// AB (vì MP là đường trung bình của tam giác).

⇒ Đường thẳng MP có dạng: x + y + c = 0 (c ≠ - 2)

Mà M (- 1; 1) thuộc MP nên: - 1 + 1 + c = 0 ⇔ c = 0

Phương trình MP: x + y = 0.

+ MP và AC cắt nhau tại P ta tìm được P (- 2; 2).

+ Mà P là trung điểm của AC nên tọa độ điểm C (- 5; 3).

+ Điểm M là trung điểm BC nên tọa độ điểm B:

⇒ B (3; - 1)

+ Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A; B và C.

Gọi phương trình đường tròn là: x² + y² – 2ax - 2by + c = 0 (a² + b² - c > 0)

Do A; B và C thuộc đường tròn nên:

Vậy phương trình đường tròn cần tìm có tâm là I (- 5; - 7)

Câu 5: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng
4x - 3y - 65 = 0; 7x - 24y + 55 = 0; 3x + 4y - 5 = 0.

A. (x - 10)² + y² = 25 B. (x - 1)² + (y - 2)² = 25

C. (x - 10)² + (y - 2)² = 25 D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

+ Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

AB: 4x - 3y - 65 = 0; BC: 7x - 24y + 55 = 0; CA: 3x + 4y - 5 = 0

+ Suy ra A (11; - 7); B (23; 9); C (- 1; 2)

Ta có: AB→( 12; 16); AC→( - 12; 9)

⇒ AB→.AC→ = 12. ( - 12) + 16.9 = 0

⇒ AB và AC vuông góc với nhau nên tam giác ABC vuông ở A.

Ta có AB = 20; BC = 25; CA = 15

⇒ S = 1/2 . AB. AC = 150.

+ Lại có: S = p. r với p = = 30 là nửa chu vi của tam giác ABC.

⇒ r = = 5.

+ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I (x; y) suy ra khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
5 =

Giải hệ này ta tìm được I (10; 0)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x - 10)² + y² = 25.

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng
∆: x - y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2.

A. (x + 2)² + (y - 2)² = 2 B. (x - 1)² + (y - 2)² = 2

C. (x - 1)² + (y + 3)² = 16 D. (x - 5)² + (y - 2)² = 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) tâm I (a, b) bán kính R có phương trình: (x - a)² + (y - b)² = R²

+ Tam giác MAB vuông tại M nên AB là đường kính và AB = 2R.

suy ra ∆ qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1)

Hạ MH ⊥ AB có MH = d_{(M, ∆)} =

+ Diện tích tam giác MAB là:

S_MAB = 1/2 MH. AB ⇔ 2 = 1/2 . 2R. √ 2 ⇔ R = √ 2

Vì đường tròn qua M nên (2 - a)² + (1 - b)² = 2 (2)

Ta có hệ:

Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình: (x - 1)² + (y - 2)² = 2

Câu 7: Cho đường thẳng ∆: x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x² + y² – 4x + 2y - 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆' vuông góc với ∆ và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.

A. x + y - 2 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x + y = 0 D. x + y + 2 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C): tâm I (2; - 1) bán kính R = 3.

+ Vì vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C).

+ Đường thẳng ∆':

⇒ Phương trình ∆’: 1 (x - 2) + 1 (y + 1) = 0 hay x + y - 1 = 0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ∆’: x + y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆. Biết rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất?

A. m = - 2 B. m = 1 C. m = - 4 D. m = 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; -2), bán kính R = 3. ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

d (I; Δ) < R ⇔ < 3 ⇔ 5m² + 5m + 17 = 0 (đúng với mọi m)

Vậy với mọi m đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A; B.

+ Ta có IA = IB = R = 3 nên diện tích tam giác IAB là:

S_IAB = 1/2 IA. IB. sin

= 9/2 sin ≤ 9/2

Suy maxS_IAB = 9/2 khi và chỉ khi:

sin = 1 ⇔ = 90⁰

+ Gọi H là hình chiếu của I lên khi đó

= 45⁰ ⇒ IH = IA. cos45⁰ =

Ta có d (I; Δ) = IH ⇔

⇔ 2 (1 - 2m)² = 9 (2 + m²)

⇔ 2 - 8m + 8m² = 18 + 9m²

⇔ m² + 8m + 16 = 0 ⇔ m = - 4

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm O và cắt đường tròn (C): x² + y² – 2x + 6y - 15 = 0 (C) tại hai điểm A, B sao cho O là trung điểm của AB.

A. x + 3y = 0 B. x - 3y = 0 C. x - 2y = 0 D. 2x - y = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = 5.

+ Xét vị trí của điểm O và đường tròn (C):

OI = = √ 10 < R

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn.

+ Đường thẳng đi qua O và cắt (C) tại A, B với O là trung điểm AB

suy ra Δ ⊥ OI.

+ Đường thẳng AB:

⇒ phương trình của AB: 1 (x - 0) – 3 (y - 0) = 0 hay x - 3y = 0.

Câu 10: Cho đường tròn (C): x² + y² = 4 và điểm M (2; 2). Có mấy đường thẳng qua M và cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2.

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Hiển thị lời giảI

Đáp án: C

+ Đường tròn (C) có tâm O (0; 0) và bán kính R = 2.

Đường thẳng cần tìm có dạng ∆:

⇒ Phương trình ∆: a (x - 2) + b (y - 2) = 0

+ Gọi H là hình chiếu của O lên AB khi đó H là trung điểm AB nên AH = AB/2 = 1

⇒ OH = = √ 3

+ Ta có OH = d (O; Δ) ⇔ √ 3 =

⇔ 3 (a² + b²) = 4a² + 8ab + 4b² ⇔ a² + 8ab + b² = 0

⇔ a = (- 4 ± √ 15)b

Từ đó ta có hai đường thẳng thỏa mãn là:

Δ₁: (-4 + √ 15)x + y + 6 - 2√ 15 = 0 và Δ₂: (-4 - √ 15)x + y + 6 + 2√ 15 = 0

Bài trước: Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng - Chuyên đề Toán 10