Các dạng bài tập khác về đường Elip - Chuyên đề Toán 10

Tâm sai của elip e = ⇒ e =

D.

Bài giải:

+ Xét elip (E): = 1 có:

a² = 100; b² = 36 nên c² = a² – b² = 64

+ Khi đó, Elip có tiêu điểm F₁ (- 8; 0)

⇒ Đường thẳng d// Oy và đi qua F₁ là x = - 8.

+ Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ hai giao điểm của d và (E) là M (- 8; ) và N (- 8; - )

⇒ MN =

Đáp án: B.

Ví dụ 7: Cho (E): = 1. Một đường thẳng đi qua điểm A (2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.

A. 3√ 5 B. 15√ 2 C. 2√ 15 D. 5√ 3

Bài giải:

+ Phương trình đường thẳng d:

⇒ (d) có phương trình là y = 2

+ Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Tọa độ hai điểm M (√ 15; 2);N (- √ 15; 2)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2√ 15.

Đáp án: C.

Ví dụ 8: Cho elip: = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc elip có tọa độ nguyên?

A. 1 B. 4 C. 3 D. 8

Bài giải:

Nếu điểm M (x; y) thuộc elip thì các điểm A (x; - y); B (- x; y); C (- x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có tọa độ nguyên dương.

Từ = 1 ⇔ x² = 8 - 4y²

Phương trình trên có nghiệm nếu: 8 - 4y² ≥ 0

Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √ 2

⇒ y = 1 và x = 2.

⇒ Các điểm thuộc elip có tọa độ nguyên là: (2; 1); (-2; 1); (2; -1) và (-2; -1)

Đáp án: B.

Ví dụ 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60⁰?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Bài giải:

+ Ta có: a² = 9; b² = 5 nên c² = a² – b² = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F₁( - 2; 0) và F₂ (2; 0)

+ Với mọi điểm M ta có: MF₁ = a + = 3 + ;

MF₂ = a - = 3 -

MF₁ + MF₂ = 2a = 6

+ Xét tam giác MF₁F₂; áp dụng định lí cosin ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂² – 2. MF₁. MF₂. cosM

= [( MF₁ + MF₂)² - MF₁ = a + = 3 + ] – 2. MF₁.MF₂.cos60⁰.

⇔ 4² = 6² – 3. MF₁. MF₂

⇔ 16 = 36 - 3. (3 + ). (3 - )

⇔ 20 = 3. ( 9 - )

⇔ x² =

⇔ x = ±

⇒ y = ±

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:

Đáp án: D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho elip (E): = 1. Hai điểm A; B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox; Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 34 B. √ 34 C. 5 D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Ta có: a² = 25 và b² = 9

⇒ a = 5; b = 3.

⇒ Tọa độ hai đỉnh A và B là (5; 0) và (0; 3).

⇒ OA = 5 và OB = 3.

Tam giác OAB vuông tại O có AB = = √34

Vậy AB = √ 34.

Câu 2: Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e =

B. e =
C. e =
D. e =

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Xét phương trình chính tắc của elip (E): = 1

Độ dài trục lớn là 2a.

Độ dài trục nhỏ là 2b.

Do độ dài trục lớn dài gấp ba lần độ dài trục nhỏ nên: 2a = 3. (2b)

⇔ a = 3b ⇔ a² = 9b²

⇔ a² = 9 (a² – c²) ⇔ 8a² = 9c²

⇔

Vậy e =

Câu 3: Một elip (E): = 1. Khoảng cách giữa hai đỉnh A (a; 0) và B (0; b) gấp 3/2 lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e =

B. e =
C. e =
D. e =

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Ta có khoảng cách giữa hai điểm A và B là: AB =

Tiêu cự của elip đã cho là 2c.

Do khoảng cách giữa hai điểm AB gấp lần tiêu cự của nó nên:

AB = F₁F₂ ⇔ = . 2c = 3c

⇔ a² + b² = 9c²

⇔ a² + (a² - c²) = 9c²

⇔ 2a² = 10c² ⇔ a² = 5c²

⇔

Vậy e = .

Câu 4: Cho điểm M (2; 3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc:
= 1. Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E):

A. M₁(-2; 3) B. M₂(2; -3) C. M₃(-2; -3) D. M₄(3; 2)

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; -3)

Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (-2; 3).

Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (-2; -3).

Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng; nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên các điểm M₁; M₂; M₃ đều thuộc elip (E).

Câu 5: Elip (E): = 1 có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1

B. e = √ 2

C. e =

D. e =

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên: 2b = 2c ⇔ b = c

Suy ra: b² = c² ⇔ a² - c² = c²

⇔ a² = 2c²

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 6: Elip (E): = 1 có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1. B. e = √ 2 C. e = D. e = 1/3

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Eip (E) có hai tiêu điểm là F₁ (- c; 0) và F₂ (c; 0).

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1 (0; - b) và B2 (0; b).

Do hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên tứ giác B₂F₂B₁F₁ là hình vuông.

⇒ tam giác F₂B₁F₁ vuông cân tại B₁

⇒ OB1 = (F₁ F₂)/2 ⇒ b = c

Suy ra: b² = c₂ ⇔ a² - c₂ = c₂

⇔ a² = 2c₂

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 7: Cho elip (E):): = 1 và M là một điểm tùy ý trên (E). Khi đó:

A. 3 ≤ OM ≤ 4 B. 4 ≤ OM ≤ 5 C. OM ≥ 5 D. OM ≤ 3

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Ta có: a² = 16 nên a = 4 và b² = 9 nên b = 3.

Mà OB ≤ OM ≤ OA

⇒ 3 ≤ OM ≤ 4

Câu 8: Cho elip (E): = 1. Tìm điểm M trên (E) sao cho MF₁ = 2MF₂ trong đó F₁; F₂ là hai tiêu điểm của elip?

A. M (5; 0) và M (0; -3) B. ( ; ) và (; - )

C. ( ; ) và (; - ) D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Elip đã cho có: a² = 25; b² = 9

⇒ c² = a² – b² = 16.

Suy ra: a = 5 và c = 4.

+ Ta có: MF₁ = a + = 5 + ; MF₂ = a - = 5 -

+ Để MF₁ = 2MF₂ ⇔ 5 + = 2 (5 - )

⇔ 5 + = 10 - 2. ⇔ 3. = 5

⇔ x = ⇒ y = ±

Vậy có hai điểm M thòa mãn: ( ; ) và (; - )

Câu 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 90⁰?

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

+ Ta có; a² = 9; b² = 5 nên c² = a² – b² = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F₁(-2; 0) và F₂ (2; 0)

+ Do điểm M nhìn hai tiêu điểm một góc 90⁰ nên M thuộc đường tròn đường kính F₁F₂.

⇒ M là giao điểm của elip (E) và đường tròn đường kính F₁F₂.

+ Lập phương trình đường tròn đường kính F₁F₂:

(C):

⇒ Phương trình (C): x² + y² = 4

+ Đường tròn và elip cắt nhau tại M nên tọa độ M là nghiệm hệ:

⇒ Hệ phương trình trên vô nghiệm nên đường tròn và elip không cắt nhau

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn.