Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai - Chuyên đề Toán 10
Câu 1. Số -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x2 + 4x + 2 = 0
B. 2x2 - 5x - 7 = 0
C. -3x2 + 5x - 2 = 0
D. x3 - 1 = 0
Bài giải:
Thay x = -1 vào các đáp án đã cho ta được:
- A. Ta có: (-1)2 + 4. (-1) + 2 = -1 ≠ 0 (loại)
- B. Ta có 2. (-1)2 - 5. (-1) - 7 = 0 (thỏa mãn)
- C. Ta có -3. (-1)2 + 5. (-1) - 2 = -10 ≠ 0 (loại)
- D. Ta có (-1)3 - 1 = -2 ≠ 0 (loại).
Đáp án: B
Câu 2. Nghiệm của phương trình x2 - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x2 và y = -7x + 12
B. y = x2 và y = -7x - 12
C. y = x2 và y = 7x + 12
D. y = x2 và y = 7x - 12
Bài giải:
Ta có: x2 - 7x + 12 = 0
⇔ x2 = 7x - 12.
Như vậy, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x2 và y = 7x - 12.
Đáp án: D
Câu 3. Nếu m ≠ 0 và n ≠ 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng:
A. -1/2 B. - 1 C. 1/2 D. 1
Bài giải:
Theo hệ thức Viet, ta có:
Câu 4. Cho phương trình: (√ 3 + 1)x2 + (2 - √ 5)x + √ 2 - √ 3 = 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Phương trình vô nghiệm
B. Phương trình có 2 nghiệm dương
C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
D. Phương trình có 2 nghiệm âm
Bài giải:
Ta có: P = √ 2 - √ 3 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Đáp án: C
Câu 5. Hai số 1 - √ 2 và 1 + √ 2 là các nghiệm của phương trình nào?
A. x2 – 2x – 1 = 0
B. x2 + 2x – 1 = 0
C. x2 + 2x + 1 = 0
D. x2 – 2x + 1 = 0
Bài giải:
Ta có:
⇒ PT: x2 - Sx + P = 0 ⇒ x2 - 2x - 1 = 0
Đáp án: A
Câu 6. √ 2 và √ 3 là hai nghiệm của phương trình nào?
A. x2 - (√ 2 - √ 3)x - √ 6 = 0
B. x2 - (√ 2 + √ 3)x + √ 6 = 0
C. x2 + (√ 2 + √ 3)x + √ 6 = 0
D. x2 - (√ 2 - √ 3)x - √ 6 = 0
Bài giải:
Ta có:
Đáp án: B
Câu 7. Giả sử phương trình x2 - 3x - m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2. Tính giá trị biểu thức P = x12(1 - x2) + x22(1 - x1) theo m.
A. P = -m + 9
B. P = 5m + 9
C. P = m + 9
D. P = -5m + 9
Bài giải:
Ta có: P = x12(1 - x2) + x22(1 - x1) = x12 - x12.x2 + x22 - x22.x1
= x12 + x22 - x1.x2(x1 + x2) = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 - x1.x2(x1 + x2)
Theo định lý Viet, ta có:
Thay vào P, ta được P = 32 - 2 (-m) - (-m).3 = 5m + 9.
Đáp án: B
Câu 8. Cho hai phương trình x2 - 2mx + 1 = 0 và x2- 2x + m = 0. Tồn tại hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó
A. S = -5/4 B. S = 1 C. S = -1/4 D. S = 1/4
Bài giải:
Gọi x0 là nghiệm của phương trình: x2 - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x0 ≠ 0
=> 1/x0 là nghiệm của phương trình: x2 - 2x + m = 0
Khi đó, ta có hệ
Lấy (1) - (2), ta được: x02(1 - m) - 2x0(m - 1) = 0
⇔ (m - 1)(x02 + 2x0) = 0
⇔
Với x0 = - 2 thay vào (1), ta được:
(-2)2 - 2m. (-2) + 1 = 0
⇔ m = -5/4
Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là: m1 + m2 = 1 - 5/4 = -1/4
Đáp án: C
Câu 9. Cho phương trình x2 + px + q = 0, trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình là 1. Thế thì p bằng:
A. √ (4q + 1) B. √ (4q - 1) C. -√ (4q + 1) D. Đáp số khác
Bài giải:
Gọi x1, x2 là nghiệm của x2 + px + q = 0.
Theo hệ thức Viet, ta có:
Ta có:
Đáp án: A
Câu 10. Nếu a, b, c, d là các số khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0 và a, b là nghiệm của phương trình x2 + cx + d = 0. Tính: a + b + c + d.
A. -2 B. 0 C. (-1 + √ 5)/2 D. 2
Bài giải:
Vì c, d là hai nghiệm của phương trình: x2 + ax + b = 0
=> c + d = -a (1)
Vì a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + cx + d = 0
=> a + b = -c (2)
Ta có hệ như sau:
Lại có
Với a = -c thì từ (1) → d = 0 (loại vì mâu thuẫn với giả thiết)
Với a = c thì từ (1) → d = -2c và từ (2) → b = -2c
Ta có
Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = -2c = -2.1 = -2
Đáp án: A
Câu 11. Biết phương trình x2 - 4x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3. Nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4
Bài giải:
Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x = 3 vào phương trình, ta được:
9 - 12 + m + 1 = 0
⇔ m = 2
Với m = 2 phương trình trở thành:
x2 - 4x + 3 = 0 ⇔
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là 1
Đáp án: B
Câu 12. Có mấy giá trị của a để hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 – x – a = 0 có một nghiệm chung?
A. 0 B. vô số C. 3 D. 1
Bài giải:
Ta có:
Đáp án: D
Câu 13. Cho phương trình: x2 – 2a (x – 1) – 1 = 0. Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số a bằng bao nhiêu?
A. a = 1/2 hay a = 1
B. a = –1/2 hay a = –1
C. a = 3/2 hay a = 2
D. a = –3/2 hay a = –2
Bài giải:
Ta có: x2 – 2a (x – 1) – 1 = 0 ⇔
Yêu cầu bài toán:
x1 + x2 = x12 + x22
⇒ x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
⇒ 2a = 4a2 - 4a + 2
⇒
Đáp án: A
Câu 14. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 10 = 0. Giá trị của tổng 1/x1 + 1/x2 là?
A. 10/3 B. – 3/10 C. 3/10 D. – 10/3
Bài giải:
Ta có:
Đáp án: C
Câu 15. Nếu biết các nghiệm của phương trình (1) x2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình (2) x2+mx+n=0. Khi đó
A. p + q = m3 B. p = m3 + 3mn C. p = m3 - 3mn D. Đáp số khác
Bài giải:
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là x1, x2
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là x3, x4
Theo bài ra, ta có:
⇔ x1 + x2 = x33 + x43 = (x3 + x4) [(x3 + x4)2 - 3x3x4] (*)
Theo hệ thức Viet, ta có
- p = - m (m2 - 3n)
Vậy p = m (m2 - 3n) = m3 - 3mn
Đáp án: C
Câu 16. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x2 – 4x – 1 = 0. Tính giá trị của T = |x1 - x2|?
A. √ 2 B. 2 C. √ 6 D. 4
Bài giải:
Đáp án: C
Câu 17. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 – 3x – 1 = 0. Ta có tổng x12 + x22 bằng:
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11.
Bài giải:
Ta có: x1 + x2 = 3; x1x2 = -1
⇒ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 11
Đáp án: D
Câu 18. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức
A. Pmin = -2 B. Pmin = -1/2 C. Pmin = 0 D. Pmin = 1
Bài giải:
Ta có Δ = m2 - 4 (m - 1) = (m - 2)2 ≥ 0, với mọi m
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Theo hệ thức Viet, ta có
Suy ra: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2 (m - 1) = m2 - 2m + 2
Khi đó
Vậy P ≥ -1/2, ∀ m ∈ R. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = -2
Đáp án: B
Câu 19. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 2 (m-1)x + 2m2 - 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = |x1 + x2 + x1x2|?
A. Pmax = 1/4 B. Pmax = 1 C. Pmax = 9/8 D. Pmax = 9/16
Bài giải:
Ta có: Δ ' = (m - 1)2 - (2m2 - 3m + 1) = -m2 + m = m (1 - m)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ Δ ' ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1. (*)
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó
Vì:
Dấu "=" xảy ra < => m = 1/4 thỏa mãn (*)
Đáp án: C
Câu 20. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|
A. Pmax = 4 B. Pmax = 2 C. Pmax = 25/4 D. Pmax = 9/4
Bài giải:
Ta có Δ ' = m2 - 2 (m2 - 2) = -m2 + 4
Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Δ ' = 4 - m2 ≥ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2 (*)
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó: A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| = |m2 - m - 6| = | (m + 2)(m - 3)| = - (m + 2)(m - 3)
= -m2 + m + 6 = - (m - 1/2)2 + 25/4 ≤ 25/4 (do -2 ≤ m ≤ 2)
Dấu "=" xảy ra < => m = 1/2 thỏa mãn (*)
Đáp án: C