Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác - trang 50 sách bài tập Toán 7 Tập 2

Bài 70 trang 50 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?

Bài giải:

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC.

Suy ra AB là đường cao kẻ từ đỉnh A và CB là đường cao kẻ từ đỉnh C.

Vì B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB nên B là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 71 trang 50: Cho hình bên

a. Chứng minh: CI ⊥ AB

b. Cho ∠ (ACB)= 40^o. Tính ∠ (BID), ∠ (DIE).

Bài giải:

a. Trong Δ ABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của Δ ABC

Suy ra: CI là đường cao thứ ba.

Vậy CI ⊥ AB.

b. Trong tam giác BEC có ∠ (BEC)= 90^o

⇒ ∠ (EBC) + ∠ C= 90^o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (EBC)= 90^o - ∠ C= 90^o - 40^o = 50^o hay ∠ (IBD)= 50^o

Trong tam giác vuông IDB có ∠ (IDB) = 90^o

⇒ ∠ (IBD) + ∠ (BID)= 90^o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (BID) = 90^o - ∠ (IBD) = 90^o - 50^o = 40^o

Mà ∠ (BID) + ∠ (DIE) = 180^o (2 góc kề bù)

Nên ∠ (DIE)= 180^o - ∠ (BID)= 180^o - 40^o = 140^o.

Bài 72 trang 51: Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.

Bài giải:

Trong Δ ABC ta có H là trực tâm nên:

AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

Trong Δ AHB, ta có:

AC ⊥ BH

BC ⊥ AH

Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB.

Trong Δ HAC, ta có:

AB ⊥ CH

CB ⊥ AH

Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của Δ HAC.

Trong Δ HBC, ta có:

BA ⊥ HC

CA ⊥ BH

Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Bài 73 trang 51: Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng đó là tam giác cân

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông BDC và CEB, có:

∠ (BDC) = ∠ (CEB) = 90^o

BD = CE (gt)

BC cạnh huyền chung

Suy ra: Δ BDC = Δ CEB

(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠ (DCB) = ∠ (EBC)

(hai góc tương ứng bằng nhau)

Hay ∠ (ACB) = ∠ (ABC)

Vậy Δ ABC cân tại A.

Bài 74 trang 51: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tìm trực tâm của tam giác ABC, AHB, AHC.

Bài giải:

*Tam giác ABC có ∠ (BAC) = 90^o

Vì CA là đường cao xuất phát từ đỉnh C; BA là đường cao xuất phát từ đỉnh B

Và hai đường cao này cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔABC.

*Tam giác AHB có ∠ (AHB) = 90^o

Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, BH là đường cao xuất phát từ đỉnh B và giao điểm của hai đường này là H.

Vậy H là trực tâm của Δ AHB.

*Tam giác AHC có ∠ (AHC) = 90^o

Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, CH là đường cao xuất phát từ đỉnh C và giao điểm của hai đường này là H.

Vậy H là trực tâm của Δ AHC.

Bài 75 trang 51: Cho hình dưới. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?

Bài giải:

Trong Δ AEB, ta có: AC ⊥ EB

=> AC là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

Trong Δ AEB, ta có: BD ⊥ AE

=> BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B.

Trong Δ AEB, ta có: EK ⊥ AB

=> EK là đường cao xuất phát từ đỉnh E

Theo tính chất ba đường cao trong tam giác nên các đường thẳng AC, BD và EK cùng đi qua một điểm.

Bài 76 trang 51: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng d song song với BC.

Bài giải:

Vì Δ ABC cân tại A và AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao

Ta có: AM ⊥ BC

d ⊥ AM (gt)

Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau nên ta có: d // BC.

Bài 77 trang 51: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường cao AE của ∆ABC, đường cao AF của ∆ACD. Chứng minh rằng ∠ (EAF) = 900.

Bài giải:

Ta có: ΔABC cân tại A

⇒ AE là đường cao đồng thời là đường phân giác ∠BAC.

+) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Lại có: AD = AB (giả thiết)

⇒ AD = AC

Do đó: ΔADC cân tại A

+) Trong tam giác ADC có: AF là đường caon nên đồng thời là đường phân giác ∠CAD.

Bài 78 trang 51: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC.

Bài giải:

Vì Δ ABC cân tại A nên đường phân giác của góc ở đỉnh A cũng là đường cao từ A.

Suy ra: AD ⊥ BC

Ta có: CH ⊥ AB (giả thiết)

Tam giác ABC có hai đường cao AD và CH cắt nhau tại D nên D là trực tâm của ∆ABC

Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B đến cạnh AC.

Vậy BD ⊥ AC.

Bài 79 trang 51: Tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Bài giải:

Tam giác ABC có AB = AC = 13 cm nên tam giác ABC cân tại A

⇒ đường trung tuyến AM cũng là đường cao.

⇒ AM ⊥ BC

Ta có: MB = MC = 1/2 BC = 1/2.10 = 5 (cm)

Trong tam giác vuông AMB có ∠ (AMB) = 90^o

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AB² = AM² + MB²

⇒ AM² = AB² - MB²

= 13² - 5² = 169 - 25 = 144

Vậy AM = 12 (cm)

Bài 80 trang 51: Cho tam giác ABC có ∠ B, ∠ C là các góc nhọn, AC > AB. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng ∠ (HAB) < ∠ (HAC).

Bài giải:

Trong Δ ABC ta có AC > AB (gt)

⇒ ∠ B > ∠ C (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Trong Δ AHB có ∠ (AHB) = 90^o

⇒∠ B + ∠ (HAB) = 90^o (tính chất tam giác vuông) (1)

Trong Δ AHC có ∠ (AHC) = 90^o

⇒ ∠ C + ∠ (HAC) = 90^o (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ B + ∠ (HAB) = ∠ C + ∠ (HAC)

Mà ∠ B > ∠ C nên ∠ (HAB) < ∠ (HAC).

Bài 81 trang 51: Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)

a. Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.

b. Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?

Bài giải:

a) Xét Δ ABC và Δ CEA, ta có:

∠ (ACB) = ∠ (CAE) (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung

∠ (CAB) = ∠ (ACE) (so le trong, CE // AB)

⇒ Δ ABC = Δ CEA (g. c. g)

⇒ BC = AE (1)

Xét Δ ABC và Δ BAF, ta có:

∠ (ABC) = ∠ (BAF) (so le trong, AF // BC)

AB cạnh chung

∠ (BAC) = ∠ (ABF) (so le trong, BF // AC)

⇒ Δ ABC = Δ BAF (g. c. g)

⇒ AF = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF

Vậy A là trung điểm của EF.

b. Kẻ AH ⊥ BC.

Ta có: EF // BC (gt) ⇒ AH ⊥ EF

Lại có: AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Vì B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của Δ ABC là đường trung trực DF.

Vì C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của Δ ABC là đường trung trực của DE.

Bài 9.1 trang 51 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác.

(B) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng nằm ngoài tam giác.

(C) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng trùng với một đỉnh của tam giác.

(D) Cả ba khẳng định trên đều sai.

Bài giải:

Trực tâm của tam giác nằm trong tam giác chỉ với tam giác nhọn, nằm ngoài tam giác chỉ với tam giác tù, trùng với một đỉnh của tam giác chỉ với tam giác vuông.

Chọn đáp án đúng là (D) Cả ba khẳng định trên đều sai.

Bài 9.2 trang 52: Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Khi đó trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của:

(A) Ba đường trung tuyến;

(B) Ba đường phân giác;

(C) Ba đường trung trực;

(D) Ba đường cao.

Hãy chọn phương án đúng.

Bài giải:

Chọn đáp án đúng là (D) Ba đường cao.

Bài 9.3 trang 52: Cho tam giác ABC có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại điểm M. Hãy tính góc AMB biết ∠ A = 55^o, ∠ B = 67^o.

Bài giải:

Để tính góc AMB, ta cần tính ∠ A₁, ∠ B₁

Trong tam giác vuông AHB có ∠ A₁= 90^o − ∠ (ABH) = 90^o − 67 ^o = 23 ^o

Trong tam giác vuông AKB có ∠ B₁= 90^o − ∠ (BAK) = 90 ^o − 55^o = 35^o

Vậy trong tam giác AMB có

∠ (AMB) = 180^o − (∠ A₁+ ∠ B₁) = 180^o − (23^o + 35^o) = 122^o.

Bài 9.4 trang 52: Cho tam giác nhọn ABC cân tại đỉnh A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc của tam giác ABC, biết ∠ (BMC) = 140^o.

Bài giải:

+) Xét tam giác vuông BKM có ∠ BMC là góc ngoài tam giác tại đỉnh M nên:

Bài 9.5 trang 52: Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

Bài giải:

Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ chứng minh AO là tia phân giác của góc A.

Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC.

Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI (1)

Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên OI = OK (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK (3)

⇒ O thuộc đường phân giác của góc BAC.

⇒ AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh.

Bài 9.6 trang 52: Cho tam giác ABC, Hai đường phân giác của các cặp góc ngoài đỉnh B và C, đỉnh C và A, đỉnh A và B lần lượt cắt nhau tại A', B', C'. Chứng minh rằng AA', BB', CC' là các đường cao của tam giác A'B'C'. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A'B'C'.

Bài giải:

Ta có AA′⊥ AB′ vì chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù. Tương tự AA′⊥ AC′. Vì qua A chỉ có một đường vuông góc với AA' nên ba điểm B', A, C' thẳng hàng và AA′⊥ B′C′, hay A'A là một đường cao của tam giác A'B'C'. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được BB' và CC' là hai đường cao của tam giác A'B'C'.

Mặt khác theo cách chứng minh của bài 9.5 ta có AA', BB', CC' là ba tia phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A'B'C'.

Bài trước: Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác - trang 49 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Ôn tập chương 3 - Phần Hình học - trang 52 sách bài tập Toán 7 Tập 2