Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác - trang 49 sách bài tập Toán 7 Tập 2
Bài 64 trang 49 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C.
Bài giải:
Vì điểm O cách đều hai điểm A và B nên O thuộc đường trung trực của AB.
Vì điểm O cách đều hai điểm A và C nên O thuộc đường trung trực của AC.
Vì điểm O cách đều hai điểm B và C nên O thuộc đường trung trực của BC.
Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm. Dựng đường trung trực AB và BC cắt nhau tại O.
Vậy O là điểm cần tìm.
Bài 65 trang 49: Cho hình dưới (hình 65a). Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng
Bài giải:
Nối KA, KB, KC (hình 65b).
Vì KD là đường trung trực của AB nên:
KA = KB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: Δ KAB cân tại K
Do đó KD là đường phân giác của ∠ (AKB)
Suy ra: ∠ K1 = ∠ K3 ⇒ ∠ (AKB) = 2 ∠ K1 (1)
Vì KE là đường trung trực của AC nên:
KA = KC (tính chất đường trung trực)
Do đó, tam giác AKC cân tại K. Suy ra KE là đường phân giác của ∠ (AKC)
Suy ra: ∠ K2 = ∠ K4 ⇒ ∠ (AKC) = 2 ∠ K2 (2)
Ta có: KD ⊥ AB (gt) và AC ⊥ AB (gt)
Suy ra: KD // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau)
Lại có: KE ⊥ AC (gt)
Suy ra: KE ⊥ KD (quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song)
Hay: ∠ (DKE) = 90o⇒ ∠ K1 +∠ K2 = 90o
Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (AKB) + ∠ (AKC) = 2∠ K1 + 2∠ K2
= 2. ( ∠ K1 +∠ K2) = 2.90o = 180o.
Vậy B, K, C thẳng hàng.
Bài 66 trang 49: Dựa vào kết quả của bài 65, hãy chứng minh rằng:
a. Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
b. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Bài giải:
a. Kẻ đường trung trực của AC cắt BC tại K
Nối AK.
Ta có: KA = KC (tính chất đường trung trực)
Suy ra: Δ KAC cân tại K
Suy ra: ∠ (KAC) = ∠ C (1)
Lại có: ∠ C + ∠ B = 90o (t/chất tam giác vuông) (2)
Mà: ∠ (KAC) + ∠ (KAB) = ∠ (BAC) = 90o (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠B = ∠ (KAB)
Do đó; Δ KAB cân tại K ⇒ KA = KB
Suy ra: K thuộc đường trung trực của AB
Do đó K là giao điểm ba đường trung trực của Δ ABC
Suy ra: KB = KC = KA ⇒ K là trung điểm của BC
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền
b. Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi K là trung điểm của BC,
Theo chứng minh phần a ta có: KA = KB = KC
Suy ra: KA = BC/2
Vậy tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AK bằng nửa cạnh huyền BC.
Bài 67 trang 50: Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (hình bên). Hãy nêu cách xác định tâm của đường viền.
Bài giải:
Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền.
Dựng đường trung trực của AB và BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O.
Khi đó; OA = OB = OC
Suy ra: O là tâm của đường viền.
Bài 68 trang 50: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng AM ở D. Chứng minh rằng DA = DB.
Bài giải:
Vì ∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC.
Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc đường trung trực của AB.
Theo tính chất đường trung trực, ta có:
DA = DB.
Bài 69 trang 50: Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.
a. Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?
b. Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ?
Bài giải:
a. Vì D thuộc đường trung trực của AB nên:
DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: Δ ADB cân tại D.
Vì E thuộc đường trung trực của AC nên:
EA = EC (tính chất đường trung trực)
Suy ra: Δ AEC cân tại E.
b. Vì O là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC nên:
OA = OB = OC
Vậy (O; OA) đi qua ba điểm A, B, C.
Bài 8.1 trang 50 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác cân (không đều) ABC có AB = AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) OA > OB;
(B) ∠ (AOB) > ∠ (AOC);
(C) AO ⊥ BC;
(D) O cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Bài giải:
Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB. Vì ba đường trung trực của một tam giác đồng quy và do tam giác ABC cân tại A nên OA là đường trung trực của BC, do đó AO ⊥ BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực AO đồng thời là đường phân giác của góc A
+) Xét ΔAOB và ΔAOC có:
OA chung
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
∠ OAB = ∠ OAC (Do AO là tia phân giác của góc BAC)
Do đó ΔAOB = ΔAOC (c. g. c) suy ra ∠ (AOB) = ∠ (AOC).
Do tam giác ABC cân tại A nhưng không là tam giác đều nên O không là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy O không cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Đáp án đúng (C) AO ⊥ BC.
Bài 8.2 trang 50: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác. Khi đó, tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC là điểm:
(A) O
(B) P;
(C) Q;
(D) R.
Hãy chọn phương án đúng.
Bài giải:Đáp án đúng là (D) R
Bài 8.3 trang 50: Cho tam giác ABC có ∠ A = 100o. Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F. Tính ∠ (EAF).
Bài giải:
Vì E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên EA = EB, hay tam giác EAB cân tại đỉnh E.
Suy ra: ∠ A1 = ∠ B (1)
Vì F thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC nên FA = FC, hay tam giác FAC cân tại đỉnh F. Suy ra: ∠ A2 =∠ C (2).
Từ (1) và (2) suy ra: ∠ A1 + ∠ A2 = ∠ B + ∠ C
Ta có:
∠ (EAF) = ∠A − (∠A1 + ∠A2) = ∠A − (∠B + ∠C)
Mặt khác: ∠A + ∠B + ∠C = 1800 (tổng ba góc của một tam giác)
suy ra: ∠B + ∠C = 180o − ∠A = 180o − 100o = 80o
Do đó ∠ (EAF) = 100o − 80o = 20o.
Bài 8.4 trang 50: Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB; AC cắt nhau tại O và lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc MAN.
Bài giải:
Theo bài 8.3 ta đã có ∠ A1 = ∠ B1, ∠ A2 = ∠ C2 (1)
Ta có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC, hay các tam giác OAB, OAC, OBC cân tại O. Suy ra ∠ (OAB) = ∠ (OBA), ∠ (OAC) = ∠ (OCA), ∠ (OBC) = ∠ (OCB). Kết hợp với (1) ∠ (OBM) = ∠ (OAM), ∠ (OCN) = ∠ (OAN), hay ∠ (OAM) = ∠ (OBC) = ∠ (OCB) = ∠ (OAN). Vậy OA là tia phân giác góc MAN.
Bài trước: Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác - trang 50 sách bài tập Toán 7 Tập 2