Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác - trang 40 sách bài tập Toán 7 Tập 2
Bài 19 trang 40 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không?
a. 5cm; 10cm; 12cm?
b. 1m; 2m; 3,3m?
c. 1,2m; 1m; 2,2m?
Bài giải:a. Ta có: 5 + 10 > 12
5 + 12 > 10
10 + 12 > 5
Vậy có tam giác mà ba cạnh của nó là 5cm; 10cm; 12cm.
b. Ta có: 1 + 2 < 3,3
Không có tam giác mà ba cạnh của nó là 1m; 2m; 3,3m vì tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại.
c. Ta có: 1,2 + 1 = 2,2
Không có tam giác mà ba cạnh của nó là 1,2 m; 1m; 2,2 m vì tổng hai cạnh bằng cạnh còn lại.
Bài 20 trang 40: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 1cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm).
Bài giải:Theo bất đẳng thức tam giác và hệ quả ta có:
AB - AC < BC < AB + AC (1)
Thay AB = 4cm, AC = 1cm vào (1) ta có:
4 - 1 < BC < 4 + 1 ⇔ 3 < BC < 5
Vì độ dài cạnh BC là một số nguyên nên BC = 4cm.
Bài 21 trang 40: Cho hình bên. Chứng minh rằng: MA + MB < IA + IB < CA + CB
Bài giải:
Trong Δ AMI ta có:
MA < MI + IA
(theo bất đẳng thức tam giác)
Cộng vào hai vế với MB ta có:
MA + MB < MI + IA + MB
⇒ MA + MB < IB + IA (1)
Trong Δ BIC, ta có:
IB < IC + CB (bất đẳng thức tam giác)
Cộng vào 2 vế với IA ta có:
IB + IA < IC + CB + IA
⇒ IB + IA < CA + CB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA + MB < IA + IB < CA + CB.
Bài 22 trang 40: Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 4m và 9m.
Bài giải:+ Nếu 4 m là độ dài 1 cạnh bên của tam giác. Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 4 m và độ dài cạnh đáy là 9m.
Ta có: 4 + 4 < 9 (mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác).
Suy ra cạnh 4m là cạnh đáy, cạnh 9m là cạnh bên.
Chu vi của tam giác là: 4 + 9 + 9 = 22 (m).
Bài 23 trang 40: Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất.
a. Vì sao các góc B và C không thể là góc vuông hoặc góc tù?
b. Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB + AC với BH + CH rồi chứng minh rằng AB + AC > BC.
Bài giải:
a. *Giả sử ∠ B ≥ 90o
Vì trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất nên AC > BC.
Điều này trái với giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất.
*Giả sử ∠ C ≥ 90o
Vì trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất nên AB > BC.
Điều này trái với giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất.
Vậy ∠ B và ∠ C không thể là góc vuông hoặc góc tù (là các góc nhọn).
b. Vì điểm H nằm giữa B và C nên ta có: BH + HC = BC (1)
Lại có: AB > BH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)
AC > CH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)
Cộng từng vế ta có: AB + AC > BH + CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BC
Bài 24 trang 41: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.
Bài giải:
Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.
Vì C nằm giữa A và B nên ta có:
AC + CB = AB (1)
Lấy điểm C' bất kỳ trên d (C' ≠ C)
Nối AC', BC'
Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ∆ABC', ta có:
AC' + BC' > AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AC' + C'B > AC + CB.
Vậy điểm C cần tìm là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d.
Bài 25 trang 41: Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70km.
a. Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b. Cũng như câu hỏi trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km.
Bài giải:Để biết thành phố B có nhận được tín hiệu không thì phải tính được khoảng cách giữa hai thành phố B và C.
Sử dụng bất đẳng thức của tam giác và hệ quả vào Δ ABC, ta có:
AB - AC < BC < AB + AC (1)
Thay các giá trị AB = 70km, AC = 30km vào (1), ta có:
70 - 30 < BC < 70 + 30 ⇔ 40 < BC < 100
a. Vì BC > 40 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì B không nhận được tín hiệu.
b. Vì BC < 100 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì B nhận được tín hiệu.
Bài 26 trang 41: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Bài giải:
Trong Δ ABD, ta có:
AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong Δ ADC, ta có:
AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng từng vế (1) và (2), ta có:
2AD < AB + BD + AC + DC ⇔ 2AD < AB + AC + BC
Vậy AD < (AB + AC + BC) / 2.
Bài 27 trang 41: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Bài giải:
Trong Δ AMB, ta có:
MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong Δ AMC, ta có:
MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Trong Δ BMC, ta có:
MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có:
MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC
⇔ 2 (MA + MB + MC) > AB + AC + BC
Vậy MA + MB + MC > (AB + AC + BC) / 2.
Bài 28 trang 41: Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng 3dm và 5dm.
Bài giải:* Trường hợp cạnh bên bằng 3dm:
Ta có: 3 + 3 > 5: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.
Chu vi tam giác cân là: 3 + 3 + 5 = 11 (dm)
* Trường hợp cạnh bên bằng 5dm:
Ta có: 5 + 5 > 3: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.
Chu vi tam giác cân là: 5 + 5 + 3 = 13 (dm)
Bài 29 trang 41: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo cm là một số tự nhiên lẻ.
Bài giải:Giả sử Δ ABC có AB = 7cm, AC = 2cm.
Theo định lý và hệ quả của bất đẳng thức tam giác, ta có:
AB - AC < BC < AB + AC
⇒ 7 - 2 < BC < 7 + 2 ⇔ 5 < BC < 9
Vì số đo cạnh BC là một số tự nhiên lẻ nên BC = 7 (cm)
Bài 30 trang 41: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng
Bài giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.
Xét Δ AMB và Δ DMC, ta có:
MA = MD (theo cách vẽ)
∠ (AMB) = ∠ (DMC) (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Suy ra: Δ AMB = Δ DMC (c. g. c)
Suy ra: AB = CD (hai cạnh tương ứng)
Trong Δ ACD, ta có: AD < AC + CD
(bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: AD < AC + AB
Mà AD = AM + MD = 2AM
Suy ra: 2AM < AC + AB hay
Bài 3.1 trang 41 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Bộ ba nào sau đây không thể là số đo ba cạnh của một tam giác?
(A) 1cm, 2cm, 2,5cm
(B) 3cm; 4cm; 6cm;
(C) 6cm, 7cm, 13cm
(D) 6cm, 7cm, 12cm
Bài giải:Bộ ba không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác là 6cm, 7cm, 13cm.
Vì 6+ 7= 13 (tổng độ dài 2 cạnh bằng độ dài còn lại – mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác).
Chọn (C) 6cm, 7cm, 13cm.
Bài 3.2 trang 41: Độ dài hai cạnh của một tam giác là 2cm và 10cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?
(A) 6cm
(B) 7cm;
(C) 8cm;
(D) 9cm.
Bài giải:Giả sử độ dài cạnh thứ ba là x (cm).
Theo hệ quả về bất đẳng thức tam giác ta có:
10 – 2 < x < 10 + 2
Hay 8 < x < 12
Trong các phương án chỉ có phương án D: 9cm thỏa mãn.
Chọn đáp án (D) 9cm.
Bài 3.3 trang 41: Có hay không tam giác với độ dài các cạnh là
a) 1m; 2m và 3m?
b) 1,2 dm; 1 dm và 2,4 dm?
Bài giải:a) Không có tam giác với độ dài các cạnh như trên, vì 1 + 2 không lớn hơn 3.
b) Không có tam giác với độ dài các cạnh như trên, vì 1,2 + 1 không lớn hơn 2,4.
Bài 3.4 trang 42: Hãy tìm cạnh của tam giác cân, nếu hai cạnh của nó bằng
a) 7cm và 3cm;
b) 8cm và 2cm;
c) 10cm và 5cm;
Bài giải:a) Giả sử cạnh 3 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.
Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 3cm và độ dài cạnh đáy là 7cm.
Ta có: 3 + 3 < 7 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.
Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 3,3,7.
Suy ra: tam giác cân thỏa mãn có cạnh bên bằng 7cm và cạnh đáy bằng 3cm
b) Giả sử cạnh 2 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.
Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 2cm và độ dài cạnh đáy là 8cm.
Ta có: 2 + 2 < 8 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.
Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 2,2,8.
Vậy tam giác thỏa mãn có cạnh bên bằng 8cm và cạnh đáy bằng 2cm.
c) Giả sử cạnh 5 cm là độ dài cạnh bên của tam giác.
Suy ra, độ dài cạnh bên còn lại là 5cm và độ dài cạnh đáy là 10cm.
Ta có: 5 + 5 = 10 mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác.
Do đó, không tồn tại tam giác với độ dài ba cạnh là 5,5,10
Vậy tam giác thỏa mãn có cạnh bên bằng 10cm và cạnh đáy bằng 5cm.
Bài 3.5 trang 42: Chứng minh rằng trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
Bài giải:
Giả sử CD là một dây của đường tròn bán kính R và AB là một đường kính của nó. Ta có:
- Nếu C, O, D không thẳng hàng thì trong tam giác COD có
CD < OC + OD = 2R = AB.
- Nếu C, O, D thằng hàng thì
CD < OC + OD = R + R = 2R (1)
Do AB là đường kính nên: AB = 2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD < AB.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có đường kính là dây lớn nhất.
Bài 3.6 trang 42: Chứng minh “Bất đẳng thức tam giác mở rộng ”: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có AB + AC ≥ BC
Bài giải:
- Nếu A, B, C không thẳng hàng thì 3 điểm A, B, C tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác.
Trong tam giác ABC ta có AB + AC > BC
- Nếu A, B, C thẳng hàng và A ở giữa B và C hoặc trùng B, C thì AB + AC = BC
• Nếu A nằm giữa B và C thì AB + AC = BC.
• Nếu B nằm giữa A và C thì AB + BC = AC nên AC > BC.
Suy ra: AC + AB > BC
• Nếu C nằm giữa A và B thì AC + CB = AB nên AB > BC.
Suy ra: AB + AC > BC.
Vậy với ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB + AC ≥ BC
Bài 3.7 trang 42: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía của d và AB không song song với d. Một điểm M di động trên d. Tìm vị trí của M sao cho |MA−MB| là lớn nhất
Bài giải:
Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.
Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB.
Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác ta có:
|MA−MB| < AB
Khi M ≡ N thì
|MA−MB|= AB
Vậy |MA−MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.
Bài trước: Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - trang 38 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2