Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g) - trang 144 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Xét Δ AOC và Δ BOD ta có:

∠ (CAO) = ∠ (DBO) = 90^o

OA = OB (vì O là trung điểm của AB).

∠ (AOC) = ∠ (BOD) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra: Δ AOC = Δ BOD (g. c. g)

Do đó, OC = OD (hai cạnh huyền tương ứng).

Vậy: OC = OD

Bài 59 trang 145: Cho tam giác ABC có AB = 2,5cm, AC = 3 cm; BC = 3,5 cm. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau tại D. Tính chu vi tam giác ACD.

Bài giải:

Ta có: AB // CD (gt)

Suy ra ∠ (ACD) =∠ (CAB) ̂ (hai góc so le trong)

BC // AD (gt)

Suy ra: ∠ (CAD) =∠ (ACB) (hai góc so le trong)

Xét Δ ABC và Δ CDA, ta có:

∠ (ACB) = ∠ (CAD) (chứng minh trên)

AC cạnh chung

∠ (CAB) = ∠ (ACD) (chứng minh trên)

Suy ra: Δ ABC= Δ CDA (g. c. g)

Suy ra: CD = AB = 2,5cm và AD = BC = 3,5 cm

Chu vi Δ ACD là: AC + AD + CD = 3 + 3,5 + 2,5 = 9 cm

Bài 60 trang 145: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DE vuông góc vớ BC. Chứng minh rằng AB = BE

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông ABD và EBD, ta có:

∠ (BAD) =∠ (BED) =90^o

Cạnh huyền BD chung

∠ (ABD) =∠ (EBD) (Do BD là tia phân giác của góc ABC)

Suy ra: Δ ABD= Δ EBD (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy BA = BE (hai cạnh tương ứng)

Bài 61 trang 145: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:

a, Δ BAD = Δ ACE

b, DE = BD + CE

Bài giải:

a, Ta có: ∠ (BAD) +∠ (BAC) +∠ (CAE) =180^o(kề bù)

Mà ∠ (BAC) =90^o (gt) ⇒ ∠ (BAD) +∠ (CAE) =90^o (1)

Trong Δ AEC, ta có: ∠ (AEC) =90^o ⇒ ∠ (CAE) +∠ (ACE) =90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (BAD) =∠ (ACE)

Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có:

∠ (AEC) = ∠ (ADB) = 90^o

AC = AB (gt)

∠ (ACE) = ∠ (BAD) (chứng minh trên)

Suy ra: Δ AEC= Δ BDA (cạnh huyền- góc nhọn)

b, Ta có: Δ AEC= Δ BDA

⇒ AE = BD và EC = DA

Mà DE = DA + AE

Vậy: DE = CE + BD

Bài 62 trang 145: Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A và ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.

Chứng minh rằng:

a. DM = AH

b. MN đi qua trung điểm của DE

Bài giải:

a, Ta có: ∠ (BAH) +∠ (BAD) +∠ (DAM) =180^o(kề bù)

Mà ∠ (BAD) =90^o⇒ ∠ (BAH) +∠ (DAM) =90^o(1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

∠ (AMD) =90^o⇒ ∠ (DAM) +∠ (ADM) =90^o(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (BAH) =∠ (ADM)

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

∠ (BAH) =∠ (ADM)

AB = AD (gt)

Suy ra: Δ AMD= Δ BHA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (hai cạnh tương ứng) (3)

b, Ta có: ∠ (HAC) +∠ (CAE) +∠ (EAN) =180^o(kề bù)

Mà ∠ (CAE) =90^o⇒ ∠ (HAC) +∠ (EAN) =90^o (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

∠ (AHC) =90^o⇒ ∠ (HAC) +∠ (HCA) =90^o (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠ (HCA) =∠ (EAN) ̂

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

∠ (AHC) =∠ (ENA) =90^o

AC = AE (gt)

∠ (HCA) =∠ (EAN) (chứng minh trên)

Suy ra: Δ AHC= Δ ENA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (hai cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6) suy ra: DM = EN

Vì DM ⊥ AH và EN ⊥ AH (giả thiết) nên DM // EN (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Gọi O là giao điểm của MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

∠ (DMO) =∠ (ENO) =90^o

DM= EN (chứng minh trên)

∠ (MDO) =∠ (NEO)(so le trong)

Suy ra: Δ DMO= Δ ENO (g. c. g)

Do đó: DO = OE (hai cạnh tương ứng).

Vậy MN đi qua trung điểm của DE

Bài 63 trang 146: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

a. AD = EF

b. Δ ADE=Δ EFC

c. AE=EC

Bài giải:

a, Xét Δ DBF và Δ FDE, ta có:

∠ (BDF) =∠ (DFE) (so le trong vì EF // AB)

DF cạnh chung

∠ (DFB) =∠ (FDE) (so le trong vì DE // BC)

Suy ra: Δ DFB = Δ FDE (g. c. g) ⇒ DB = EF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: AD = EF

b, Ta có: DE // BC (gt)

⇒ ∠ (D₁) =∠ B (đồng vị) (1)

Do EF // AB (gt)

⇒ ∠ (F₁) =∠ B (đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (D₁) =∠ F₁

Xét Δ ADE và Δ EFC, ta có:

∠ A =∠ (E₁) (hai góc đồng vị, EF// AB)

AD = EF (chứng minh a)

∠ (D₁) =∠ (F1) (chứng minh trên)

Suy ra: Δ ADE = Δ EFC (g. c. g)

c, Vì: Δ ADE = Δ EFC nên AE = EC (hai cạnh tương ứng)

Bài 64 trang 146: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a, DB = CF

b, Δ BDC= Δ FCD

c, DE//BC và DE =1/2BC

Bài giải:

a, Xét Δ ADE và Δ CFE, ta có:

AE = CE (Do E là trung điểm của AC).

∠ (AED) =∠ (CEF) (đối đỉnh)

DE = FE (giả thiết)

Suy ra: Δ ADE= Δ CFE (c. g. c)

⇒ AD = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (vì D là trung điểm AB).

Vậy: DB = CF

b, Ta có: Δ ADE= Δ CFE (chứng minh trên)

⇒ ∠ (ADE) =∠ (CFE) (hai góc tương ứng)

Suy ra: AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay AB // CF

Xét Δ BDC và Δ FCD, ta có:

BD = CF (chứng minh trên)

∠ (BDC) =∠ (FCD) (hai góc so le trong vì CF // AB)

DC cạnh chung

Suy ra: Δ BDC= Δ FCD (c. g. c)

c, Ta có: Δ BDC= Δ FCD (chứng minh trên)

Suy ra: ∠ (C₁) =∠ (D₁) (hai góc tương ứng)

Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Δ BDC= Δ FCD suy ra BC = DF (hai cạnh tương ứng)

Mà DE = 1/2 DF (gt). Vậy DE = 1/2 BC

Bài 65 trang 146: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = NC

Hướng dẫn: qua N kẻ đường thẳng song song với AB

Bài giải:

Từ N kẻ đường thẳng song song vói AB cắt BC tại K. Nối EK.

Xét Δ BEK và Δ NKE, ta có:

∠ (EKB) =∠ (KEN) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

∠ (BEK) =∠ (NKE) (so le trong vì NK // AB))

Suy ra: Δ BEK = Δ NKE (g. c. g)

Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng)

EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét Δ ADM và Δ NKC, ta có:

∠ A =∠ (KNC) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK (vì cùng bằng BE)

∠ (ADM) =∠ (NKC) (vì cùng bằng góc B)

Suy ra: Δ ADM = Δ NKC (g. c. g)

Suy ra: DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM

Bài 66 trang 146: Cho tam giác ABC có: ∠ A =60^o

Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự tại D, E. Chứng minh rằng: ID = IE

Hướng dẫn: kẻ tia phân giác góc BIC

Bài giải:

Trong Δ ABC, ta có:

∠ A +∠ B +∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ∠ B +∠ C = 180 - ∠ A = 180 - 60 = 120^o

+) Vì BD là tia phân giác của ABC nên: ∠ (B₁) = ∠ (B₂) = 1/2 ∠ B

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên: ∠ (C₁) = ∠ (C₂) = 1/2 ∠ C

Do đó:

Trong Δ BIC, ta có:

∠ (BIC) = 180^o(∠ (B₁) + ∠ (C₁) = 180^o - 60^o = 120^o

Kẻ tia phân giác ∠ (BIC) cắt cạnh BC tại K

Suy ra: ∠ (I₂) = ∠ (I₃) = 1/2 ∠ (BIC) = 60^o

Ta có: ∠ (I₁) + ∠ (BIC) = 180^o (hai góc kề bù)

⇒ ∠ (I₁) = 180^o-∠ (BIC) = 180^o - 120^o = 60^o

∠ (I₄) = ∠ (I₁) = 60^o(vì hai góc đối đỉnh)

Xét Δ BIE và Δ BIK, ta có

∠ (B₂) = ∠ (B₁) (vì BD là tia phân giác của góc ABC)

BI cạnhchung

∠ (I₁) = ∠ (I₂) = 60^o

Suy ra: Δ BIE = Δ BIK (g. c. g)

IK = IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét Δ CIK và Δ CID, ta có

∠ (C₁) = ∠ (C₂) (vì CE là tia phân giác của góc ACB).

CI cạnh chung

∠ (I₃) = ∠ (I₄) = 60^o

Suy ra: Δ CIK = Δ CID (g. c. g)

IK = ID (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID

Bài 5.1 trang 146 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và tam giác có 3 đỉnh là D, E, F. Biết AB= DF và ∠ B=∠ D

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a)Nếu ∠ A = ∠ F thì hai tam giác đó bằng nhau

b)Nếu ∠ A = ∠ E thì hai tam giác đó bằng nhau

c)Nếu ∠ C = ∠ E thì hai tam giác đó bằng nhau

Bài giải:

a) Đúng. Khi đó, ∆ABC = ∆FDE (g. c. g)

b) Sai;

c) Đúng.

+)Vì ta có: ∠ A + ∠ B +∠ C = 180º (tổng ba góc của tam giác).

Và ∠ D + ∠ E + ∠ F = 180º (tổng ba góc của tam giác)

+) Lại có; ∠ B = ∠ D; ∠ C = ∠ E nên ∠ A = ∠ F

+) Kết hợp giả thiết suy ra: ∆ABC = ∆ FDE (g. c. g)

Bài 5.2 trang 146: Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE=AC. Một đường thẳng đi qua A cắt DE và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a)BC // DE

b)AM = AN

Bài giải:

a) Δ ABC và Δ ADE có:

AB = AD (gt)

AC = AE (gt)

∠ BAC = ∠ DAE (hai góc đối đỉnh)

⇒ Δ ABC = Δ ADE (c. g. c)

⇒ ∠ C = ∠ E ⇒ DE // BC.

b) Δ AEM và Δ ACN có:

∠ C = ∠ E (hai góc so le trong, DE// BC)

AE = AC (giả thiết)

∠ EAM = ∠ CAN (hai góc đối đỉnh)

⇒ Δ AEM = Δ ACN (g. c. g) ⇒ AM = AN (hai cạnh tương ứng).

Bài 5.3 trang 146: Chứng minh rằng nếu hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau

Bài giải:

Xét các tam giác bằng nhau Δ ABC = Δ A'B'C'. Kẻ AH ⊥ BC, A’H’ ⊥ B’C’

Suy ra Δ ABC = Δ A'B'C' nên AC = A’C’, ∠ C = ∠ C'.

Suy ra Δ AHC = Δ A'H'C' (cạnh – huyền – góc nhọn) nên AH = A’H’.

Bài 5.4 trang 147: Cho tam giác giác ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BE cắt đường thẳng CA tại K. Chứng minh rằng AK = AC.

Bài giải:

Từ (1) và (2) suy ra AK = AC (điều phải chứng minh).