Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc - trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2
Bài 40 trang 44 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hình sau là thước có khoảng cách giữa hai lề song song với nhau bằng h. Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta áp một lề của thước vào cạnh Ox rồi kẻ đường thẳng a theo lề kia, sau đó làm tương tự với cạnh Oy ta kẻ được đường thẳng b. Vì sao giao điểm M của a và b nằm trên tia phân giác của góc xOy?
Bài giải:
Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy.
Khi đó:
MH là chiều rộng của thước hai lề
MK là chiều rộng của thước hai lề
Mà chiều rộng của thước đó bằng nhau và bằng h nên ta có:
MH = MK = h
Điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc nên M thuộc tia phân giác của góc xOy.
Bài 41 trang 44: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm.
Bài giải:
Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.
Kẻ KE ⊥ BC, KF ⊥ AC, KD ⊥ AB
Vì K nằm trên phân giác của ∠ (CBD) nên:
KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)
Vì K nằm trên tia phân giác của ∠ (BCF) nên:
KE = KF (tính chất tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF
Điểm K nằm trong ∠ (BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia phân giác của ∠ (BAC).
Bài 42 trang 44: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm D thuộc trung tuyến AM sao cho D cách đều hai cạnh của góc B.
Bài giải:
Vì D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác của ∠ (ABC)
Đồng thời D nằm trên đường trung tuyến AM.
Vậy D là giao điểm của đường phân giác của ∠ (ABC) và đường trung tuyến AM.
Bài 43 trang 45: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD.
Bài giải:
* Xét điểm M nằm trong góc AOD
Kẻ MH ⊥ OA, MK ⊥ OD
Xét hai tam giác MHO và MKO:
∠ (MHO) = ∠ (MKO) = 90o
MH = MK
OM cạnh huyền chung
Suy ra: Δ MHO = Δ MKO
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠ (MOH) = ∠ (MOK)(2 góc tương ứng)
Hay OM là tia phân giác của ∠ (AOD).
* Ngược lại, M nằm trên tia phân giác của ∠ (AOD)
Xét hai tam giác vuông MHO và MKO, ta có:
∠ (MHO) = ∠ (MKO)= 90o
∠ (MOH) = ∠ (MOK)
OM cạnh huyền chung
Suy ra: Δ MHO = Δ MKO (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (2 cạnh tương ứng)
Vậy tập hợp các điểm M cách đều OA và OD là tia phân giác Ox của góc AOD.
Tương tự M nằm trong các góc AOC, DOB, BOC thì tập hợp các điểm M là tia phân giác Oy, Oy’, Ox’.
Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O là hai đường thẳng xx’ và yy’ là đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
Bài 44 trang 45: Để vẽ đường phân giác của góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, bạn Minh đã vẽ các điểm A, B như trên hình sau. Đường thẳng AB có là đường phân giác của góc xOy hay không? Vì sao?
Bài giải:
Ta có: AD = AE nên A nằm trên tia phân giác của góc xOy
BM = BN nên B nằm trên tia phân giác của góc xOy
Mà A ≠ B nên đường thẳng AB là đường phân giác của góc xOy.
Bài 5.1 trang 45 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy bằng 60°, điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng
(A) 2cm;
(B) 3cm;
(C) 4cm;
(D) 5cm
Hãy chọn phương án đúng.
Bài giải:
M cách đều Ox và Oy
⇒ M thuộc tia phân giác của góc xOy.
⇒ ∠ MOx = 30o
∆MHO vuông có cạnh HM đối diện với góc HOM
*) Áp dụng bài 6.5 (sách bài tập – tập 1): Nếu tam giác ABC vuông tại A và ∠B = 30o
thì AC= BC/2
⇒ HM = 1/2. OM
⇒ OM = 2. HM = 2.2 = 4 (cm)
Chọn đáp án: C
Bài 5.2 trang 45: Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến Ox, Oy. Biết AM = AN = 3cm. Khi đó
(A) OM = ON > 3cm
(B) OM = ON < 3cm
(C) OM = ON = 3cm
(D) OM ≠ ON
Bài giải:
+) Vì A nằm trong góc xOy và cách đều Ox, Oy (AM = AN = 3cm) nên điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Suy ra: OA là tia phân giác của góc xOy.
Suy ra:
+) Tam giác AOM vuông tại M có góc
Suy ra; tam giác OAM vuông cân tại M nên OM = MA = 3cm.
+) Chứng minh tương tự ta có tam giác OAN vuông cân tại N nên:
ON = NA = 3cm
Vậy OM = ON = 3cm
Chọn C.
Bài 5.3 trang 45: Cho góc đỉnh O khác góc bẹt
a) Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng AB ⊥ OM.
b) Trên hai cạnh của góc O lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc O.
Bài giải:
a)
Gọi H là giao điểm của AB và OM.
Xét Δ AOM (vuông tại A) và Δ BOM (vuông tại B) có:
OM chung
∠ MOA = ∠ MOB (vì OM là tia phân giác của góc xOy)
⇒ Δ AOM = Δ BOM (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ OA = OB.
+) Xét Δ OAH và Δ BOH có:
OA = OB (chứng minh trên)
OH chung
∠ AOH = ∠ BOH (vì OH là tia phân giác của góc xOy)
⇒ Δ OAH = Δ OBH (c. g. c)
⇒ ∠ OHA = ∠ OHB. Mà ∠ OHA + ∠ OHB = 180o (hai góc kề bù)
⇒ ∠ OHA = ∠ OHB = 90o
Vậy AB ⊥ OM.
b)
Xét Δ ODE và Δ OCE vuông tại D và C có:
OE chung
OD = OC (gt)
⇒ Δ ODE = Δ OCE (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
⇒ ∠ DOE = ∠ COE
⇒ OE là phân giác của góc O
Bài 5.4 trang 45: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OBC là tam giác cân.
b) Điểm O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
Bài giải:
a) Ta sẽ chứng minh Δ OBC có hai góc OBC và OCB bằng nhau
Δ ABQ và Δ ACP có: AB = AC, AQ = AP, ∠ A chung
⇒ Δ ABQ = Δ ACP (c. g. c)
⇒ ∠ ABQ = ∠ ACP.
Mà ∠ ABC = ∠ ACB (Vì tam giác ABC cân tại A)
⇒ ∠ ABC - ∠ ABQ = ∠ ACB - ∠ ACP hay ∠ OBC = ∠ OCB
⇒ Δ OBC cân tại O.
b) Δ OBC cân tại O ⇒ OB = OC.
Δ AOB và Δ AOC có: AO chung, AB = AC (giả thiết), OB = OC (cmt)
⇒ Δ AOB = Δ AOC (c. c. c).
⇒ ∠ BAO = ∠ CAO
⇒ AO là tia phân giác của góc BAC
⇒ O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) Gọi giao điểm AO với BC là H.
Δ AHB và Δ AHC có:
cạnh AH chung,
AB = AC
∠ (BAH) = ∠ (CAH) (theo b).
⇒ Δ AHB = Δ AHC (c. g. c)
⇒ HB = HC và ∠ (AHB) = ∠ (AHC)
Lại có: ∠ (AHB) + ∠ (AHC) = 180º (hai góc kề bù)
Suy ra: ∠ (AHB) = ∠ (AHC) = 90º
tức là AO ⊥ BC và AO đi qua trung điểm của BC.
Bài 5.5 trang 46: Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Bài giải:
Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c. Xét hai góc trong cùng phía E và F. Do I thuộc tia phân giác của góc E nên IA = IC. (1)
Do I thuộc tia phân giác của góc F nên IC = IB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA = IB = IC, tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Bài trước: Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2