Trang chủ > Lớp 7 > Giải SBT Toán 7 > Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2

Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2

Bài 1 trang 36 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh các góc của tam giác ABC biết rằng AB = 5cm, BC = 5cm, AC = 3cm.

Bài giải:

Ta có: AB = BC nên Δ ABC cân tại B

Suy ra: ∠ A = ∠ C

Vì BC > AC nên ∠ A > ∠ B (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy ∠ A = ∠ C > ∠ B.

Bài 2 trang 36: So sánh các cạnh của tam giác ABC biết rằng ∠ A = 80^o, ∠ C = 40^o

Bài giải:

Ta có: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠ B = 180^o - (∠ A + ∠ C)

= 180^o - (80^o + 40^o) = 60^o

Trong Δ ABC, ta có: ∠ A > ∠ B > ∠ C

Suy ra: BC > AC > AB (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Bài 3 trang 36: Cho tam giác ABC có B > 90^o, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AB < AD < AC

Bài giải:

Trong ∆ABD ta có: ∠ B > 90^o

⇒ ∠ B > ∠ D₁ (trong 1 tam giác, góc tù là góc lớn nhất- chú ý tổng ba góc trong một tam giác bằng 180º) ⇒ AD > AB (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (1)

Trong Δ ABD ta có: ∠ D₂ là góc ngoài tại đỉnh D nên ∠ D₂ = ∠ B + ∠ BAD. Suy ra: ∠ D₂ > ∠ B > 90^o

Trong Δ ADC ta có: ∠ D₂ > 90^o

⇒ ∠ D₂ > ∠ C ⇒ AC > AD (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB < AD < AC

Bài 4 trang 36: Điền dấu “X” vào chỗ trống thích hợp.

Câu	Đúng	Sai
1. Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất	……	……
2. Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất	……	……
3. Trong một tam giác, đối diện cạnh nhỏ nhất là góc nhọn	……	……
4. Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù	……	……

Bài giải:

Câu	Đúng	Sai
1. Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất	x
2. Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất	x
3. Trong một tam giác, đối diện cạnh nhỏ nhất là góc nhọn	x
4. Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù		x

Bài 5 trang 36: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh độ dài BK, BC.

Bài giải:

Trong Δ ABK, ta có ∠ BKC là góc ngoài tại đỉnh K nên ∠ BKC = ∠ A + ∠ ABK

Suy ra: ∠ BKC > ∠ A = 90^o (tính chất góc ngoài)

Trong Δ BKC ta có ∠ BKC là góc tù, BC là cạnh đối diện với ∠ BKC

Suy ra BC là cạnh lớn nhất

Do đó BC > BK.

Bài 6 trang 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC.

Bài giải:

Kẻ DH ⊥ BC.

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD, ta có:

∠ B₁ = ∠ B₂ (vì BD là tia phân giác của góc ABC).

Cạnh huyền BD chung

∠ BAD = ∠ BHD = 90º

Suy ra: Δ ABD = Δ HBD (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AD = HD (2 cạnh tương ứng) (1)

Trong tam giác vuông DHC có ∠ DHC = 90^o

⇒ DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD < DC

Bài 7 trang 37: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh ∠ (BAM) và ∠ (MAC)

Bài giải:

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét Δ AMB và Δ DMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠ (AMB) = ∠ (DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: Δ AMB = Δ DMC (c. g. c)

Suy ra: AB = CD (2 cạnh tương ứng)

và ∠ D = ∠ A₁(2 góc tương ứng) (1)

Mà AB < AC (gt)

nên: CD < AC

Trong Δ ADC, ta có: CD < AC

Suy ra: ∠ D > ∠ A₂(đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ A₁ > ∠ A₂hay ∠ (BAM) > ∠ (MAC).

Bài 8 trang 37: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.

Bài giải:

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

Ta có: AB < AC nên AE < AC

Suy ra E nằm giữa A và C.

Xét Δ ABD và Δ AED, ta có:

AB = AE (theo cách vẽ)

∠ (BAD) = ∠ (EAD) (gt)

AD cạnh chung

Suy ra: Δ ABD = Δ AED (c. g. c)

Suy ra: BD = DE (2 cạnh tương ứng)

và ∠ (ABD) = ∠ (AED) (2 góc tương ứng)

Mà: ∠ (ABD) + ∠ B₁= 180^o (2 góc kề bù)

∠ (AED) + ∠ E₁= 180^o (2 góc kề bù)

Suy ra: ∠ B₁= ∠ E₁

Trong Δ ABC ta có ∠ B₁là góc ngoài tại đỉnh B

Ta có: ∠ B₁ > ∠ C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠ E₁> ∠ C

Suy ra: DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy BD < DC.

Bài 9 trang 37: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30^o thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Bài giải:

Xét Δ ABC, ta có: ∠ A= 90^o; ∠ B= 30^o

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

Ta có: Δ ACD cân tại C

Mà ∠ C + ∠ B = 90^o (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠ C = 90^o - ∠ B = 90^o - 30^o = 60^o

Suy ra: Δ ACD đều

Suy ra: AC = AD = DC và ∠ A₁= 60^o

Ta có: ∠ A₁+ ∠ A₂ = ∠ BAC = 90^o

⇒ ∠ A₂ = 90^o - ∠ A₁ = 90^o - 60^o = 30^o

Trong Δ ADB, ta có: ∠ A₂ = ∠ B= 30^o

Suy ra: Δ ADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau)

Hay AD = DB

Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC

Vậy AC = 1/2 BC.

Bài 10 trang 37: Chứng minh định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau:

Cho tam giác ABC có ∠ B > ∠ C

a. Có thể xảy ra AC < AB hay không?

b. Có thể xảy ra AC = AB hay không?

Bài giải:

a. Nếu AB > AC thì ∠ C > ∠ B (góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Điều này trái với giả thiết ∠ B > ∠ C nên không xảy ra.

b. Nếu AB = AC thì Δ ABC cân tại A

⇒ ∠ B = ∠ C (tính chất tam giác cân)

Điều này trái với giả thiết ∠ B > ∠ C nên không xảy ra.

Vậy nếu ∠ B > ∠ C thì AC > AB.

Bài 1.1 trang 37 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ∠ A là góc tù, ∠ B > ∠ C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(A) AB > AC > BC

(B) AC > AB > BC

(D) BC > AC > AB

Bài giải:

Do ∠ A là góc tù nên ∠ A lớn nhất. Vậy có ∠ A> ∠ B > ∠ C. Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn (D) BC > AC > AB.

Bài 1.2 trang 37: Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7cm. Gọi ∠ A, ∠ B, ∠ C theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(A) ∠ A > ∠ B > ∠ C

(B) ∠ B > ∠ C > ∠ A

(D) ∠ C > ∠ B > ∠ A

Bài giải:

Chọn C

Bài 1.3 trang 37: So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng 40^o.

Bài giải:

Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40^o nên nó có một góc trong bằng 180^o - 40^o = 140^o. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó.

Bài 1.4 trang 37: Cho tam giác ABC với AB ≤ AC. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Chứng minh rằng AM < AC.

Bài giải:

Δ ABC có AB ≤ AC ⇒ ∠ C ≤ ∠ B.

Δ ABM có ∠ M₁ là góc ngoài nên ∠ M₁ > ∠ B

⇒ ∠ M₁ > ∠ C

Δ AMC có ∠ M₁ > ∠ C ⇒ AC > AM.

Bài 1.5 trang 38: Cho tam giác ABC với AB ≤ BC ≤ CA. Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N (khác A, B, C). Chứng minh rằng MN < AC.

Bài giải:

Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được

MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.

Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.

Bài 1.6 trang 38: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D (khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm E (khác A và C). Chứng minh rằng DE < BC.

Bài giải:

+ Δ ADE có ∠ E₁ là góc ngoài ⇒ ∠ E₁ > ∠ A

Mà ∠ A > 90^o ⇒ ∠ E₁ > 90^o

Δ CDE có ∠ E₁ tù ⇒ CD là cạnh lớn nhất ⇒ CD > DE (1)

+ Tương tự xét Δ ADC có ∠ D₁ là góc ngoài

⇒ ∠ D₁ > ∠ A ⇒ ∠ D₁ > 90^o (vì ∠ A > 90º)

Δ BDC có ∠ D₁ tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất ⇒ BC > CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > DE.

Bài trước: Ôn tập chương 4 - Phần Đại số - trang 27 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - trang 38 sách bài tập Toán 7 Tập 2