Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác - trang 137 sách bài tập Toán 7 Tập 1

a) Trong Δ ABC có:

∠ (BAC) + ∠ B + ∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Mà ∠ (BAC) + 70^o + 30^o = 180

Vậy ∠ (BAC) = 180^o-70^o - 30^o = 80^o

b) Ta có: ∠ (A₁) = (1/2)∠ (BAC) = (1/2).80^o = 40^o

(vì AD tia phân giác của góc BAC)

Trong Δ ADC ta có ∠ (ADH) là góc ngoài tại đỉnh D

Do đó: ∠ (ADH) = ∠ (A₁) + ∠ C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Vậy ∠ (ADH) = 40^o + 30^o = 70^o

c) Δ ADH vuông tại H nên:

∠ (HAD) + ∠ (ADH) = 90^o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (HAD) = 90^o-∠ (ADH)^o = 90^o - 70^o = 20^o

Bài 12 trang 138: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Tính ∠ (BIC) biết rằng:

a) ∠ B = 80^o,∠ C = 40^o

b) ∠ A = 80^o

c) ∠ A = m^o

a) ∠ B = 80^o, ∠ C = 40^o

Ta có:

∠ (B₁) = (1/2)∠ (ABC) = (1/2).80^o = 40^o (vì BD là tia phân giác ∠ (ABC))

∠ (C₁) = (1/2)∠ (ACB) = (1/2).40^o = 20^o (vì CE là tia phân giác ∠ (ACB))

Trong Δ IBC, ta có: ∠ (BIC) + ∠ (B₁) + ∠ (C₁) = 180^o(tổng 3 góc trong tam giác)

Vậy: ∠ (BIC) = 180^o - (∠ (B₁) + ∠ (C₁)) = 180^o - (40^o + 20^o) = 120^o

b) Ta có:

+ Trong Δ BIC có ∠ BIC = 180^o - (∠ B₁ + ∠ C₁) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ ABC và ∠ BCA nên:

∠ B₁ = 1/2. ∠ ABC; ∠ C₁ = 1/2. ∠ ACB

⇒ ∠ B₁ + ∠ C₁ = 1/2. (∠ ABC + ∠ ACB) (2)

⇒ ∠ ABC + ∠ ACB = 180 - ∠ A (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠ BIC = 180^o - 1/2. (180 - ∠ A) = 90^o + 1/2. ∠ A

+) Nếu ∠ A = 80^o ⇒ ∠ BIC = 90º + 1/2.80^o = 130^o.

+) Nếu ∠ A = m^o ⇒ ∠ BIC = 90^o + 1/2. m^o.

Bài 13 trang 138: Trên hình bên có Ax song sog với By, ∠ (CAx) =50^o,∠ (CBy) =40^o. Tính ∠ (ACB) bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.

Kéo dài AC cắt By tại D

Vì By // Ax suy ra ∠ (D₁) = ∠ A (hai góc so le trong)

Mà ∠ A = 50^o(gt) nên ∠ (D₁) = 50^o

TrongΔ BCD ta có ∠ (ACB) là góc ngoài tại đỉnh C

⇒ ∠ (ACB) = ∠ B + ∠ (D₁) (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒ ∠ (ACB) = 40^o + 50^o = 90^o

Bài 14 trang 138: Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác thì bằng 360º

Ta có: ∠ (A₁) +∠ (A₂) =180^o(hai góc kề bù)

∠ (B₁) +∠ (B₂) =180^o(hai góc kề bù)

∠ (C₁) +∠ (C₂)=180^o(hai góc kề bù)

Suy ra: ∠ (A₁) +∠ (A₂) +∠ (B₁) +∠ (B₂) +∠ (C₁) +∠ (C₂) = 180º + 180º + 180º =540^o

⇒ ∠ (A₂) + ∠ (B₂) +∠ (C₂) =540^o- (∠ (A₁) +∠ (B₁) +∠ (C₁)) (1)

Trong Δ ABC, ta có:

∠ (A₁) +∠ (B₁) +∠ (C₁) =180^o (tổng ba góc trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (A₂) +∠ (B₂) +∠ (C₂) =540^o-180^o=360^o

Bài 15 trang 138: Cho tam giác ABC có ∠ A =90^o. Gọi E là điểm nằm trên tam giác đó. Chứng minh rằng góc BEC là góc tù.

Kéo dài AE cắt BC tại D

Trong ∆ABE ta có ∠ E₁ là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠ E₁ > ∠ A₁ (tính chất góc ngoài tam giác)(1)

Trong ∆AEC ta có ∠ E₂ là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠ E₂ > ∠ A₂ (tính chất góc ngoài tam giác)(2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

∠ E₁ + ∠ E₂ > ∠ A₁ +∠ A₂

Hay ∠ (BEC) > ∠ (BAC) = 90º

Vậy góc (BEC) là góc tù.

Bài 16 trang 139: Cho tam giác ABC có ∠ A=90^o, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Các tia phân giác của ∠ C và ∠ BAH cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: ∠ (AIC)=90^o

Ta có: AH⊥ BC (gt) ⇒ Δ AHB vuông tại H

Trong tam giác vuông AHB ta có: ∠ BHA = 90^o

⇒ ∠ B + ∠ BAH = 90^o (1)

Trong tam giác vuông ABC ta có: ∠ BAC = 90^o

⇒ ∠ B + ∠ C = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ BAH = ∠ C (3)

+) Vì AI là tia phân giác của góc BAC nên:

∠ (BAI) = ∠ (IAH) = 1/2. ∠ BAH (4)

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên:

∠ (ACI) = ∠ (ICB) = 1/2. ∠ C (5)

+) Từ (3); (4) và (5) suy ra:

∠ (BAI) = ∠ (IAH) = ∠ (ACI) = ∠ (ICB)

+) Lại có:

∠ BAI + ∠ IAC = 90º

Suy ra: ∠ ICA + ∠ IAC = 90º

Trong ΔAIC có: ∠ ICA+ ∠ IAC = 90º

Vậy: ∠ AIC = 90º.

Bài 17 trang 139: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của các cặp góc trong cùng phía vuông goác với nhau.

Giả sử đường thẳng AB // CD cắt đường thẳng EF tại E và F

Ta có: ∠ BEF + ∠ EFD = 180^o (hai góc trong cùng phía)

+) Do EK là tia phân giác của góc ∠ BEF nên:

∠ E₁ = 1/2. ∠ (BEF) (1)

+) Do FK là tia phân giác của góc EFD nên:

∠ F₁ = 1/2. ∠ EFD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

∠ E₁ +∠ F₁ =1/2. (∠ BEF + ∠ EFD) = 1/2.180º = 90º (∠ BEF + ∠ EFD = 180º hai góc trong cùng phía)

Trong Δ EKF, ta có:

∠ EKF = 180^o- (∠ E₁ + ∠ F₁) = 180^o-90^o=90^o

Vậy EK ⊥ FK

Bài 18 trang 139: Cho tam giác ABC có: ∠ B - ∠ C = 20^o. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. tính số đo các góc ∠ (ADC), ∠ (ADB)

Trong Δ ABD ta có ∠ D₁ là góc ngoài tại đỉnh D

∠ D₁ = ̂B + ∠ A₁ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Trong Δ ADC ta có ∠ D₂ là góc ngoài tại đỉnh D

∠ D₂ = ̂C + ∠ A₂ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Ta có: ∠ B > ∠ C (gt); ∠ A₁ = ∠ A₂ (gt)

⇒ ∠ D₁ - ∠ D₂ = (B + ∠ A₁) - (C + ∠ A₂) = ∠ B - ∠ C = 20^o

Lại có: ∠ D₁ + ∠ D₂ = 180^o (hai góc kề bù)

⇒ ∠ D₁ = (180^o + 20^o): 2 = 100^o

⇒ ∠ D₁ = (100^o - 20^o) = 80^o

Bài 1.1 trang 139 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tam giác ABC có ∠ A = 40^o. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I.

Góc BIC bằng:

(A) 40^o;

(B) 70^o;

(C) 110^o;

(D) 140^o.

Ta có:

+ Trong ΔBIC có ∠ BIC = 180º - (∠ B₁ + ∠ C₁) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ ABC và ∠ BCA nên:

∠ B₁ = 1/2. ∠ BAC; ∠ C₁ = 1/2. ∠ ACB

⇒ ∠ B₁ + ∠ C₁ = 1/2. (∠ BAC + ∠ BCA) (2)

+ Trong ΔABC có: ∠ BAC + ∠ BCA = 180 - ∠ A =140º (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠ BIC = 180º - 1/2.140º = 110º

Chọn đáp án C

Bài 1.2 trang 139: Tam giác ABC có ∠ A= 75^o. Tính ∠ B và ∠ C, biết:

a) ∠ B= 2∠ C;

b) ∠ B - ∠ C= 25^o.

Bài 1.3 trang 139: Tam giác ABC có ∠ B = 110^o, ∠ C = 30^o. Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác của góc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng tam giác KAB có hai góc bằng nhau.

+) Hai góc ∠ABK và ∠ABC là hai góc kề bù nên:

∠ABK = 180° - ∠ABC = 180° - 110° = 70° (1)

+) Góc Bax là góc ngoài tam giác tại đỉnh A của tam giác ACK nên:

∠BAx = 110° + 30° = 140° (tính chất góc ngoài tam giác).

+) Do AK là tia phân giác của góc BAx nên:

∠BAK = ∠BAx: 2 = 140°: 2 = 70°. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác KAB có hai góc bằng nhau.

Bài 1.4 trang 139: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D và cắt d ở E. Chứng minh rằng tam giác CDE có hai góc bằng nhau.

+) Ta có BD là tia phân giác của góc ABC nên: ∠ (ABD) = ∠ (DBC) (1)

+ Lại có: ∠ (ADB)= ∠ (CDE) (hai góc đối đỉnh) (2)

+) Tam giác ABD vuông tại A nên:

∠ (ABD) + ∠ (ADB) = 90° (tính chất tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ (DBC) + ∠ (CDE) = 90° (4)

+) Tam giác BCE vuông tại C nên:

∠ (DBC) + ∠ (BEC) = 90° (tính chất tam giác vuông) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠ (CDE) = ∠ (BEC)

Vậy tam giác CDE có hai góc bằng nhau.