Bài 6: Tam giác cân - trang 147 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Bài 68 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A có ∠ A= 100°. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MN // BC

Bài giải:

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ nên:

Bài 69 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB.

Chứng minh rằng BM = CN

Bài giải:

+) Do M là trung điểm của AC nên:

(1)

+) Do N là trung điểm của AB nên:

(2)

Lại có: AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A). (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra: AN = NB = AM = MC.

+) Xét ∆ AMB và ∆ANC có:

Góc A chung

AM = AN (chứng minh trên)

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

Suy ra: ∆ AMB = ∆ANC (c. g. c)

Do đó: BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Bài 70 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK.

Chứng minh rằng Δ OBC là tam giác cân.

Bài giải:

+) Xét ΔABH và ΔACK, ta có:

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

AH = AK (giả thiết)

Suy ra: ΔABH = ΔACK (c. g. c)

=> tam giác OBC cân tại O.

Bài 71 trang 147: Vẽ lại hình bên vào vở rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình bên.

Bài giải:

Đặt bài toán như sau:

- Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A

- Vẽ tam giác đều ABD sao cho D và C nằm trên 2 nửa mặt phẳng có bờ chứa đường thẳng AB.

- Vẽ tam giác vuông cân ADE sao cho E và B nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng AD.

Chứng minh tam giác ACE là tam giác cân.

Bài 72 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng Δ ADE là tam giác cân.

Bài giải:

*) Ta có: Δ ABC cân tại A

BD = CE (giả thiết)

Suy ra: Δ ABD = Δ ACE (c. g. c)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

*) Tam giác ADE có AD = AE nên tam giác này cân tại A (theo định nghĩa tam giác cân)

Bài 73 trang 147: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = BC. Chứng minh rằng BD // EC

Bài giải:

Ta có: BD là tia phân giác của ∠ ABC (giả thiết)

Suy ra:

(1)

Lại có: BE = BC (giả thiết)

=> ∆BEC cân tại B (theo định nghĩa)

Suy ra: ∠ E= ∠ BCE (tính chất tam giác cân)

∆BEC có ABC là góc ngoài đỉnh B

=> ∠ ABC= ∠ E + ∠ BCE (tính chất góc ngoài tam giác)

Suy ra: ∠ ABC=2∠ E

Hay ∠ E = (1/2)∠ ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ E = ∠ B₁ = (1/2)∠ ABC

Vậy BD // CE (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Bài 74 trang 147: Tính số đo các góc của tam giác ACD như hình bên.

Bài giải:

Ta có: ∆ABC vuông cân tại A

Suy ra: ∠ ACB=∠ ABC=45^o

Lại có: ∆BCD vuông cân tại B (BC = BD)

Suy ra: ∠ BCD=∠ Dtính chất tam giác cân)

Trong ∆BCD ta có ∠ ABC góc ngoài tại đỉnh B

Do vậy: ∠ ABC=∠ BCD + ∠ D (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠ ABC= ∠ 2∠ BCD

Do đó: ∠BCD = 1/2. ∠ABC = 1/2.45º = 22º 30’

=> ∠ ACD = ∠ ACB + ∠ BCD = 45^o+22^o30'=67^o30'

Bài 75 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD

Bài giải:

Ta có: ∆ABC cân tại A

⇒ AB = AC và ∠B = ∠C₁ (tính chất tam giác cân) (1)

Lại có: AD = AB (do A là trung điểm BD).

Suy ra: AD = AC do đó ∆ACD cân tại A

Nên ∠ D =∠ C₂(tính chất tam giác cân) (2)

Mà ∠ BCD =∠ C₁+ ∠ C₂ (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ BCD =∠ B +∠ D (4)

Trong ∆BCD, ta có:

∠ BCD +∠ B +∠ D =180^o (tổng 3 góc trong tam giác) (5)

từ (4) và (5) suy ra: 2 ∠ BCD =180° hay∠ BCD =90°

Bài 76 trang 147: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ cac đường thẳng song song vói các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E.

Tính tổng DE + DF

Bài giải:

Ta có: DF // AC (gt)

=> ∠ D₁ = ∠ C (hai góc đồng vị) (1)

Lại có: Δ ABC cân tại A

=> ∠ B = ∠ C (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ B = ∠ D₁

Hay Δ BFD cân tại F => BF = DF (3)

Nối AD. Xét Δ AFD và Δ DEA có:

∠ ADF =∠ EAD (so le trong vì DF // AC)

AD cạnh chung

∠ DAF =∠ ADE (so le trong vì DE // AB)

Suy ra: Δ AFD= Δ DEA (g. c. g)

Nên AF = DE (hai cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: DE + DF = AF + BF = AB = 3cm

Bài 77 trang 148: Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC và CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều?

Bài giải:

Ta có: AB = AD +DB (1)

BC = BE = EC (2)

AC = AF + FC (3)

AB = AC = BC (vì tam giác ABC là tam giác đều) (4)

AD = BE = CF (giả thiết) (5)

Từ (1), (2), (3) và (4), (5) suy ra: BD = EC = AF

Xét Δ ADF và Δ BED, ta có:

AD = BE (gt)

∠ A =∠ B =60^o (vì tam giác ABC đều)

AF = BD (chứng minh trên)

suy ra: Δ ADF= Δ BED (c. g. c)

⇒ DF=ED (hai cạnh tương ứng) (6)

Xét Δ ADF và Δ CFE, ta có:

AD = CF (gt)

∠ A =∠ C =60^o (vì tam giác ABC đều)

AF = CE (chứng minh trên)

suy ra: Δ ADF= Δ CFE (c. g. c)

Nên: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy tam giác DFE đều

Bài 78 trang 148: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E.

Chứng minh rằng: DE = BD + CE

Bài giải:

Ta có: DI // BC (giả thiết)

Suy ra: ∠ I₁ =∠ B₁(so le trong) (1)

Lại có: ∠ B₁ =∠ B₂ (2)

(vì BI là tia phân giác góc ABC)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ I₁ =∠ B₂

=> ∆BDI cân tại D => BD=DI (3)

Mà IE // BC (gt) => ∠ I₂ =∠ C₁ (so le trong) (4)

Đồng thời: ∠ C₁=∠ C₂ (vì CI là phân giác của góc ACB) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠ I₂=∠ C₂. Suy ra ∠ CEI cân tại E

Suy ra: CE = EI (6)

Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE

Bài 79 trang 148: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn, tính số đo góc AMB.

Bài giải:

Nối OM, ta có:

OA = OM (bán kính đường tròn tâm O)

Nên Δ OAM cân tại O

⇒ ∠ A =∠ M₁(tính chất tam giác cân)(1)

OM = OB (bán kính đường tròn tâm O)

Suy ra: Δ OBM cân tại O

⇒ ∠ B =∠ M₂(tính chất tam giác cân) (2)

Trong Δ AMB ta có:

∠ A + ∠ AMB + ∠ B = 180º (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ∠ A +∠ B +∠ M₁+∠ M₂ =180 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 (∠ M₁ + ∠ M₂)=180^o

Vậy: ∠ M₁+∠ M₂=90^o hay ∠ (AMB) =90^o

Bài 80 trang 148: Đặt đề toán theo hình dưới đây. Sau đó vẽ lại hình theo đề toán rồi đo góc DAE

Bài giải:

Đề toán:

Vẽ tam giác ABC đều

Vẽ tam giác ABD vuông cân tại B sao cho D và C nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng AB.

Vẽ tam giác ACE vuông cân tại C sao cho E và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa đường thẳng AC

Đo ∠ DAE =150^o

Chứng minh:

Bài 81 trang 148: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới) là tam giác nhọn.

Bài giải:

Nối A với D tạo thành đường chéo ô vuông

Gọi K giao điểm AC với đỉnh ô vuông, H là giao điểm DK với đường kẻ ngang ô vuông đi qua A. ( như hình vẽ)

Ta có: Δ AHK vuông cân tại H => ∠ HAK =45^o

Δ AHD vuông cân tại H=> ∠ HAD =45^o

=> ∠ DAK =∠ HAK +∠ HAD =45^o+45^o=90^o

hay ∠ DAC =90^o

=> ∠ BAC < 90^o

Hình vuông có 4 góc, mỗi góc bằng 900. Từ hình vẽ suy ra: ∠ ACB < 90^o và ∠ ABC < 90^o

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn

Bài 6.1 trang 148 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Góc ADB trên hình bs 3 có số đo bằng

(A) 20^o;

(B) 25^o;

(C) 30^o;

(D) 35^o;

Hãy chọn phương án đúng.

Bài giải:

+) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

+) Tam giác ACD có góc ACB là góc ngoài của tam giác nên:

+) Lại có: AC = CD (giả thiết) nên tam giác ACD cân tại C.

Đáp án đúng là B

Bài 6.2 trang 148: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính số đo góc ADB

Bài giải:

+) Do tam giác ABC vuông cân tại A nên:

+) Tam giác ABD có AB = BD nên tam giác ABD cân tại B.

+) Tam giác ABD có góc ABC là góc ngoài tam giác tại đỉnh B nên:

Bài 6.3 trang 148: Cho tam giác cân ABC có ∠ A= 100^o. Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA. Tính số đo góc DAE.

Bài giải:

+) Ta có:

(tổng ba góc trong 1 tam giác)

Lại có: tam giác ABC là tam giác cân tại A nên:

+) Xét tam giác ABD có BA= BD (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Lại có;

(tổng ba góc trong 1 tam giác)

+) Tương tự, ta có tam giác AEC cân tại C (vì CA =CE)

+) Xét tam giác ADE có:

(tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra:

Bài 6.4 trang 148: Cho hình bs 4. Chứng minh rằng:

a) C, O, D thẳng hàng;

b) BC = AD

Bài giải:

+) Xét tam giác OAD có: OA = OD (= bán kính đường tròn)

Suy ra tam giác OAD cân tại O.

Suy ra: ∠ A = ∠ D (tính chất tam giác cân). (1)

+) Xét tam giác OBC có: OB = OC (= bán kính đường tròn)

Suy ra tam giác OBC cân tại O.

Suy ra: ∠ B = ∠ C (tính chất tam giác cân). (2)

+) Lại có: ∠ A = ∠ B (giả thiết) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D

Vậy hai tam giác cân OAD và OBC có góc ở đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng nhau: ∠ AOD = ∠ BOC (4).

+) Ta có: ∠ AOD + ∠ DOB = 180º (hai góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠ BOC + ∠ DOB = 180º hay 3 điểm C, O và D thẳng hàng.

b) Xét tam giác OAD và ∆ OCB có:

OA = OC (= bán kính đường tròn)

∠ AOD = ∠ BOC (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (= bán kính đường tròn)

Suy ra: ∆ OAD = ∆ OCB (c. g. c)

Suy ra: AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Bài 6.5* trang 148: Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠ B = 30^o. Chứng minh rằng AC = (1/2)BC.

Bài giải:

+) Tam giác ABC vuông tại A nên: ∠ B + ∠ C = 90º

Mà ∠ B = 30º ⇒ ∠ C = 60º

+) Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho ∠ CAD = 60º

Tam giác ACD có ∠ C = ∠ CAD = 60º nên ACD là tam giác đều.

Suy ra AC = AD = DC và ∠ DAC = 60º (1)

+) Ta có: ∠ DAC + ∠ DAB = ∠ BAC = 90º

⇒ ∠ DAB = 90º - 60º = 30º

+) Tam giác ABD có ∠ DAB = ∠ B = 30º nên ABD là tam giác cân.

Suy ra AD = BD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = DC = BD, tức là AC = BC/2