Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông - trang 151 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Bài 93 trang 151 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông ADB và ADC, ta có:

∠ (ADB) =∠ (ADC) = 90^o

AB = AC (giả thiết)

AD cạnh chung

Suy ra: Δ ADB= Δ ADC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒ ∠ (BAD) =∠ (CAD) (hai góc tương ứng)

Vậy AD là tia phân giác ∠ (BAC)

Bài 94 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.

Bài giải:

Xét Δ ADB vuông tại D và Δ AEC vuông tại E, ta có:

AB = AC (giả thiết)

∠ (BAC) chung

⇒ Δ ADB = Δ AEC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

Xét Δ ADK vuông tại D và Δ AEK vuông tại E có:

AD = AE (chứng minh trên)

AK cạnh chung

⇒ Δ ADK = Δ AEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒ ∠ (DAK) = ∠ (EAK) (hai góc tương ứng)

Vậy AK là tia phân giác của góc BAC.

Bài 95 trang 151: Tam giác ABC có M là trung điểm BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:

a. MH = MK

b. ∠ B =∠ C

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:

∠ (AHM) =∠ (AKM) =90^o

Cạnh huyền AM chung

∠ (HAM) =∠ (KAM) (giả thiết)

⇒ Δ AHM= Δ AKM (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:

∠ (MHB) =∠ (MKC) =90^o

MH = MK (chứng minh trên)

MC = MB (gt)

⇒ Δ MHB= Δ MKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

Suy ra ∠ B =∠ C (hai góc tương ứng)

Bài 96 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A.

Bài giải:

Gọi M, N là trung điểm của AB và AC.

Ta có: AM = 1/2 AB (gt); AN = 1/2 AC (gt)

Mà AB = AC (gt)

⇒ AM = AN

Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:

∠ (AMI) = ∠ (ANI) = 90^o

AM = AN (chứng minh trên)

AI cạnh huyền chung

⇒ Δ AMI= Δ ANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒ ∠ (A₁) = ∠ (A₂) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của ∠ (BAC)

Bài 97 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:

∠ (ABD) =∠ (ACD) =90^o

Cạnh huyền AD chung

AB = AC (giả thiết)

⇒ Δ ABD= Δ ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠ (A₁) =∠ (A₂) (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là tia phân giác góc A

Bài 98 trang 151: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Bài giải:

Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC

Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:

∠ (AHM) =∠ (AKM) = 90^o

Cạnh huyền AM chung

∠ (HAM) = ∠ KAM) (giả thiết)

⇒ Δ AHM = Δ AKM (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:

∠ (MHB) = ∠ (MKC) = 90^o

MB = MC (vì M là trung điểm BC).

MH = MK (chứng minh trên)

⇒ Δ MHB = Δ MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠ B = ∠ C (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 99 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tai BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:

a) BH = CK

b) Δ ABH= Δ ACK

Bài giải:

a) Vì Δ ABC cân tại A nên∠ (ABC) =∠ (ACB) (tính chất tam giác cân)

Ta có: ∠ (ABC) +∠ (ABD) =180^o(hai góc kề bù)

∠ (ACB) +∠ (ACE) =180^o(hai góc kề bù)

Suy ra: ∠ (ABD) =∠ (ACE)

Xét Δ ABD và Δ ACE, ta có:

AB = AC (gt)

∠ (ABD) =∠ (ACE) (chứng minh trên)

BD=CE (gt)

Suy ra: Δ ABD= Δ ACE (c. g. c)

⇒ ∠ D =∠ E (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác vuông Δ BHD và Δ CKE, ta có:

∠ (BHD) =∠ (CKE) = 90º

BD = CE (giả thiết)

∠ D =∠ E (chứng minh trên)

Suy ra: Δ BHD= Δ CKE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

b) Xét Δ ABH và Δ ACK, ta có:

AB = AC (gt)

∠ (AHB) =∠ (AKC) =90^o

BH=CK (chứng minh trên)

Suy ra: Δ ABH= Δ ACK (cạnh huyền– cạnh góc vuông)

Bài 100 trang 151: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cát nhau tại I. chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.

Hướng dẫn: từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.

Bài giải:

Kẻ: ID⊥ AB, IE⊥ BC, IF⊥ AC

Xét hai tam giác vuông Δ IBD và Δ IEB, ta có:

∠ (DBI) =∠ (EBI) (gt)

∠ (IDB) =∠ (IEB) =90^o

BI cạnh chung

Suy ra: Δ IDB= Δ IEB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông Δ IEC và Δ IFC, ta có:

∠ (ECI) =∠ (FCI)

∠ (IEC) =∠ (IFC) =90^o

CI cạnh huyền chung

Suy ra: Δ IEC= Δ IFC (cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông Δ IDA và Δ IFA, ta có:

ID=IF

∠ (IDA) =∠ (IFA) =90^o

AI cạnh huyền chung

Suy ra: Δ IDA= Δ IFA (cạnh huyền. cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠ (DAI) =∠ (FAI) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác góc A

Bài 101 trang 151: Cho tam giác AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.

Bài giải:

Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.

Xét Δ BMI và Δ CMI, ta có:

∠ (BMI) = ∠ (CMI) = 90^o (gt)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

MI cạnh chung

Suy ra: Δ BMI = Δ CMI (c. g. c)

Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông Δ IHA và Δ IKA, ta có:

∠ (HAI) = ∠ (KAI) (vì AI là tia phân giác của góc BAC).

∠ (IHA) = ∠ (IKA) = 90^o

AI cạnh huyền chung

Suy ra: Δ IHA = Δ IKA (cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông Δ IHB và Δ IKC, ta có:

IB = IC (chứng minh trên)

∠ (IHB) =∠ (IKC) =90^o

IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: Δ IHB = Δ IKC (cạnh huyền. cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Bài 8.1 trang 152 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng, khẳng định nào là sai?

Các tam giác vuông ABC và DEF có ∠ A=∠ D=90^o, AC=DE bằng nhau nếu có thêm:

a) BC = EF;

b) ∠ C = ∠ E;

c) ∠ C = ∠ F;

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông ABC và DFE có: ∠ A = ∠ D = 90º; AC=DE

a) Thêm điều kiện BC=EF thì ΔABC=ΔDFE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

b) Thêm điều kiện ∠ C = ∠ E thì ΔABC=ΔDFE (g. c. g).

c) Thêm điều kiện ∠ C = ∠ F thì ta không thể kết luận ΔABC=ΔDFE

Như vậy ta có:

a) Đúng;

b) Đúng;

c) Sai.

Bài 8.2 trang 152: Các tam giác vuông ABC và DEF có ∠ A = ∠ D = 90^o,AC = DF, ∠ B = ∠ E. Các tam giác vuông có bằng nhau không

Bài giải:

Bài 8.3 trang 152: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối BC lấy điểm D, Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho ∠ BAD = ∠ CAE. Kẻ BH vuông góc với AD (H ∈ AD). kẻ CK vuông góc với AE (K ∈ AE). Chứng minh rằng:

a) BD = CE

b) BH = CK

Bài giải:

a) +) Do tam giác ABC cân tại A nên ∠ ABC = ∠ ACB (1)

Lại có; ∠ ABC + ∠ ABD = 180º (hai góc kề bù) (2)

∠ ACB + ∠ ACE = 180º (hai góc kề bù) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra: ∠ ABD = ∠ ACE

+) Xét ΔABD và ΔACE có:

∠ DAB = ∠ EAC (giả thiết)

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

∠ ABD = ∠ ACE (chứng minh trên)

⇒ Δ ABD = Δ ACE (g. c. g)

⇒ BD = CE (hai cạnh tương ứng)..

b) Xét tam giác BHA và ∆CKA có

∠ AHB = ∠ AKC = 90º

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).

∠ HAB = ∠ KAC (giả thiết)

Suy ra Δ BHA = Δ CKA (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra BH = CK.

Bài trước: Bài 7: Định lí Pi-ta-go - trang 149 sách bài tập Toán 7 Tập 1 Bài tiếp: Ôn tập chương 2 - trang 152 sách bài tập Toán 7 Tập 1