Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông - trang 151 sách bài tập Toán 7 Tập 1
Bài 93 trang 151 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho tam giác cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A
Bài giải:Xét hai tam giác vuông ADB và ADC, ta có:
∠ (ADB) =∠ (ADC) = 90o
AB = AC (giả thiết)
AD cạnh chung
Suy ra: Δ ADB= Δ ADC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠ (BAD) =∠ (CAD) (hai góc tương ứng)
Vậy AD là tia phân giác ∠ (BAC)
Bài 94 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Bài giải:Xét Δ ADB vuông tại D và Δ AEC vuông tại E, ta có:
AB = AC (giả thiết)
∠ (BAC) chung
⇒ Δ ADB = Δ AEC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)
Xét Δ ADK vuông tại D và Δ AEK vuông tại E có:
AD = AE (chứng minh trên)
AK cạnh chung
⇒ Δ ADK = Δ AEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠ (DAK) = ∠ (EAK) (hai góc tương ứng)
Vậy AK là tia phân giác của góc BAC.
Bài 95 trang 151: Tam giác ABC có M là trung điểm BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a. MH = MK
b. ∠ B =∠ C
Bài giải:Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠ (AHM) =∠ (AKM) =90o
Cạnh huyền AM chung
∠ (HAM) =∠ (KAM) (giả thiết)
⇒ Δ AHM= Δ AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠ (MHB) =∠ (MKC) =90o
MH = MK (chứng minh trên)
MC = MB (gt)
⇒ Δ MHB= Δ MKC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
Suy ra ∠ B =∠ C (hai góc tương ứng)
Bài 96 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A.
Bài giải:Gọi M, N là trung điểm của AB và AC.
Ta có: AM = 1/2 AB (gt); AN = 1/2 AC (gt)
Mà AB = AC (gt)
⇒ AM = AN
Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
∠ (AMI) = ∠ (ANI) = 90o
AM = AN (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
⇒ Δ AMI= Δ ANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠ (A1) = ∠ (A2) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của ∠ (BAC)
Bài 97 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
Bài giải:Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:
∠ (ABD) =∠ (ACD) =90o
Cạnh huyền AD chung
AB = AC (giả thiết)
⇒ Δ ABD= Δ ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠ (A1) =∠ (A2) (hai góc tương ứng)
Suy ra AD là tia phân giác góc A
Bài 98 trang 151: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Bài giải:Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠ (AHM) =∠ (AKM) = 90o
Cạnh huyền AM chung
∠ (HAM) = ∠ KAM) (giả thiết)
⇒ Δ AHM = Δ AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠ (MHB) = ∠ (MKC) = 90o
MB = MC (vì M là trung điểm BC).
MH = MK (chứng minh trên)
⇒ Δ MHB = Δ MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠ B = ∠ C (hai góc tương ứng)
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 99 trang 151: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tai BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:
a) BH = CK
b) Δ ABH= Δ ACK
Bài giải:a) Vì Δ ABC cân tại A nên∠ (ABC) =∠ (ACB) (tính chất tam giác cân)
Ta có: ∠ (ABC) +∠ (ABD) =180o(hai góc kề bù)
∠ (ACB) +∠ (ACE) =180o(hai góc kề bù)
Suy ra: ∠ (ABD) =∠ (ACE)
Xét Δ ABD và Δ ACE, ta có:
AB = AC (gt)
∠ (ABD) =∠ (ACE) (chứng minh trên)
BD=CE (gt)
Suy ra: Δ ABD= Δ ACE (c. g. c)
⇒ ∠ D =∠ E (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác vuông Δ BHD và Δ CKE, ta có:
∠ (BHD) =∠ (CKE) = 90º
BD = CE (giả thiết)
∠ D =∠ E (chứng minh trên)
Suy ra: Δ BHD= Δ CKE (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)
b) Xét Δ ABH và Δ ACK, ta có:
AB = AC (gt)
∠ (AHB) =∠ (AKC) =90o
BH=CK (chứng minh trên)
Suy ra: Δ ABH= Δ ACK (cạnh huyền– cạnh góc vuông)
Bài 100 trang 151: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cát nhau tại I. chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Bài giải:Kẻ: ID⊥ AB, IE⊥ BC, IF⊥ AC
Xét hai tam giác vuông Δ IBD và Δ IEB, ta có:
∠ (DBI) =∠ (EBI) (gt)
∠ (IDB) =∠ (IEB) =90o
BI cạnh chung
Suy ra: Δ IDB= Δ IEB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông Δ IEC và Δ IFC, ta có:
∠ (ECI) =∠ (FCI)
∠ (IEC) =∠ (IFC) =90o
CI cạnh huyền chung
Suy ra: Δ IEC= Δ IFC (cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông Δ IDA và Δ IFA, ta có:
ID=IF
∠ (IDA) =∠ (IFA) =90o
AI cạnh huyền chung
Suy ra: Δ IDA= Δ IFA (cạnh huyền. cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠ (DAI) =∠ (FAI) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác góc A
Bài 101 trang 151: Cho tam giác AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
Bài giải:Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.
Xét Δ BMI và Δ CMI, ta có:
∠ (BMI) = ∠ (CMI) = 90o (gt)
BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
MI cạnh chung
Suy ra: Δ BMI = Δ CMI (c. g. c)
Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông Δ IHA và Δ IKA, ta có:
∠ (HAI) = ∠ (KAI) (vì AI là tia phân giác của góc BAC).
∠ (IHA) = ∠ (IKA) = 90o
AI cạnh huyền chung
Suy ra: Δ IHA = Δ IKA (cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông Δ IHB và Δ IKC, ta có:
IB = IC (chứng minh trên)
∠ (IHB) =∠ (IKC) =90o
IH = IK (chứng minh trên)
Suy ra: Δ IHB = Δ IKC (cạnh huyền. cạnh góc vuông)
Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)
Bài 8.1 trang 152 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng, khẳng định nào là sai?
Các tam giác vuông ABC và DEF có ∠ A=∠ D=90o, AC=DE bằng nhau nếu có thêm:
a) BC = EF;
b) ∠ C = ∠ E;
c) ∠ C = ∠ F;
Bài giải:Xét hai tam giác vuông ABC và DFE có: ∠ A = ∠ D = 90º; AC=DE
a) Thêm điều kiện BC=EF thì ΔABC=ΔDFE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
b) Thêm điều kiện ∠ C = ∠ E thì ΔABC=ΔDFE (g. c. g).
c) Thêm điều kiện ∠ C = ∠ F thì ta không thể kết luận ΔABC=ΔDFE
Như vậy ta có:
a) Đúng;
b) Đúng;
c) Sai.
Bài 8.2 trang 152: Các tam giác vuông ABC và DEF có ∠ A = ∠ D = 90o,AC = DF, ∠ B = ∠ E. Các tam giác vuông có bằng nhau không
Bài giải:Bài 8.3 trang 152: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối BC lấy điểm D, Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho ∠ BAD = ∠ CAE. Kẻ BH vuông góc với AD (H ∈ AD). kẻ CK vuông góc với AE (K ∈ AE). Chứng minh rằng:
a) BD = CE
b) BH = CK
Bài giải:a) +) Do tam giác ABC cân tại A nên ∠ ABC = ∠ ACB (1)
Lại có; ∠ ABC + ∠ ABD = 180º (hai góc kề bù) (2)
∠ ACB + ∠ ACE = 180º (hai góc kề bù) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: ∠ ABD = ∠ ACE
+) Xét ΔABD và ΔACE có:
∠ DAB = ∠ EAC (giả thiết)
AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)
∠ ABD = ∠ ACE (chứng minh trên)
⇒ Δ ABD = Δ ACE (g. c. g)
⇒ BD = CE (hai cạnh tương ứng)..
b) Xét tam giác BHA và ∆CKA có
∠ AHB = ∠ AKC = 90º
AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).
∠ HAB = ∠ KAC (giả thiết)
Suy ra Δ BHA = Δ CKA (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra BH = CK.
Bài trước: Bài 7: Định lí Pi-ta-go - trang 149 sách bài tập Toán 7 Tập 1 Bài tiếp: Ôn tập chương 2 - trang 152 sách bài tập Toán 7 Tập 1