Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2
Bài 54 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài giải:
Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1)
Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)
Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng.
Bài 55 trang 47: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng Δ BDE = Δ CDE.
Bài giải:
Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)
Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)
Xét Δ BDE và Δ CDE, ta có:
DB = DC (chứng minh trên)
DE cạnh chung
EB = EC (chứng minh trên)
Suy ra: Δ BDE = Δ CDE (c. c. c).
Bài 56 trang 47: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.
Bài giải:
* Nếu AB không vuông góc với d
- Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.
- Điểm C ∈ d
Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.
Vậy C là điểm cần tìm.
* Nếu AB vuông góc với d
Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.
Bài 57 trang 47: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình dưới. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:
a. MA < MB
b. NA > NB
Bài giải:
a. Nối MA, MB
Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA
Ta có: MB = MC + CB
Mà CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB = MC + CA (1)
Trong Δ MAC, ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB
b. Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB
Ta có: NA = ND + DA
Mà DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA = ND + DB (3)
Trong Δ NDB, ta có: NB < ND + DB
(bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.
Bài 58 trang 48: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.
Bài giải:
Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.
Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.
Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.
Vậy AB ⊥ CD.
Bài 59 trang 48: Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.
Bài giải:
- Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.
- Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O.
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB).
* Lưu ý:
- Nếu m // d thì không dựng được tâm O
- Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.
Bài 60 trang 48: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.
Bài giải:
* Chứng minh thuận
Vì Δ CAB cân tại C nên CA = CB
Suy ra C thuộc đường trung trực của AB
Vì điểm C thay đổi mà Δ CAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.
* Chứng minh đảo
Trên đường thẳng d lấy điểm C bất ký (C khác trung điểm M của AB).
Nối CA, CB.
Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác CAB cân tại C.
Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường trung trực của AB (trừ trung điểm M của AB).
Bài 61 trang 48: Cho góc xOy bằng 60o, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.
a. Chứng minh rằng OB = OC.
b. Tính số đo góc BOC.
Bài giải:
a. Vì Ox là đường trung trực của AB nên:
OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)
Vì Oy là đường trung trực của AC nên:
OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)
Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC.
b. Vì Δ OAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của ∠ (AOB) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠ O3 = ∠ O4 (3)
Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đường phân giác của ∠ (AOC) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠ O1 = ∠ O2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra: ∠ O1 + ∠ O3 = ∠ O2 + ∠ O4
Ta có: ∠ (BOC) = ∠ O1 + ∠ O3 + ∠ O2 + ∠ O4
= 2 (∠ O1 + ∠ O3) = 2. ∠ (xOy) = 2.60o = 120o.
Bài 62 trang 48: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC.
a. Hãy so sánh MA + MB với BC.
b. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.
Bài giải:
a. Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.
* Nếu M ≠ N
Nối MC.
Vì a là đường trung trực của AC và M ∈ a
Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1)
Trong Δ MBC, ta có:
BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB
* Nếu M trùng với N
Nối NA. Ta có:
NA = NC (tính chất đường trung trực)
Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC
Vậy: MA + MB ≥ BC.
b. Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.
Bài 63 trang 48: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
Bài giải:
- Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.
- Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C.
Theo kết quả của bài 62 thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.
Bài 7.1 trang 48 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M, N. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
(A) ∠ (AMN) ≠ ∠ (BMN)
(B) ∠ (MAN) ≠ ∠ (MBN)
(C) ∠ (MNA) ≠ ∠ (MNB)
(D) Δ AMN = Δ BMN
Bài giải:Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.
Vì N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên NA = NB.
+) Xét ∆AMN và ∆BMN có:
MA = MB (chứng minh trên)
NA = NB (chứng minh trên)
MN chung
Suy ra: ∆AMN = ∆BMN (c. c. c) nên các khẳng định (A), (B), (C) sai, (D) đúng.
Bài 7.2 trang 49: Cho hai tam giác cân chung đáy ABC và ABD, trong đó ABC là tam giác đều. Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?
(A) Đường thẳng CD là đường trung trực của AB.
(B) Điểm E không nằm trên đường thẳng CD.
(C) Đường trung trực của AC đi qua B.
(D) Đường trung trực của BC đi qua A.
Bài giải:+) Do tam giác ABD cân tại D nên DA = DB (định nghĩa tam giác cân).
Suy ra: D nằm trên đường trung trực của AB. (1)
+) Do tam giác ABC là tam giác đều nên CA = CB
Suy ra: C nằm trên đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2)suy ra: CD là đường trung trực của AB.
+) Do E là trung điểm của AB nên EA = EB
=> E nằm trên đường trung trực của AB
=> E nằm trên đường thẳng CD.
Như vậy, (B) sai.
Chọn đáp án (B).
Bài 7.3 trang 49: Đường trung trực của cạnh BC trong tam giác ABC cắt cạnh AC tại D. Hãy tìm:
a) AD và CD nếu BD = 5cm; AC = 8cm;
b) AC nếu BD = 11,4cm; AD = 3,2cm.
Bài giải:
a) Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC. Mặt khác, D ở giữa A và C nên AD + DC = AC hay AD = AC – DC
Nếu BD = 5cm; AC = 8cm, thì CD = BD = 5cm và AD = 8 – 5 = 3 (cm).
b) Ta có AC = AD + DC = AD + BD = 3,2 + 11,4 = 14,6 (cm).
Bài 7.4 trang 49: Trong tam giác ABC, hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng:
a) D là trung điểm của cạnh BC.
b) ∠ A = ∠ B + ∠ C.
Bài giải:
a) Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnh BC. Mặt khác đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm của BC nên D là trung điểm của cạnh BC.
+) Xét tam giác ADE và BDE có:
DE chung
DA = DB (vì DE là đường trung trực của AB)
Suy ra: ∆ADE = ∆ BDE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
+ Chứng minh tương tự ta có: ∆ADF = ∆ CDF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 7.5 trang 49: Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC có hai cạnh AB và AC không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A không vuông góc với BC.
Bài giải:
Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của cạnh BC.
Giả sử AM ⊥ BC. Khi đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Suy ra AB = AC. Điều này mâu thuẫn với giả thiết AB ≠ AC. Vậy trung tuyến AM không vuông góc với BC.
Bài 7.6 trang 49: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d sao cho AB không vuông góc với d. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho |MA−MB| có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.
Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.
Bài trước: Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2 Bài tiếp: Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác - trang 49 sách bài tập Toán 7 Tập 2