Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2
Bài 45 trang 46 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Bài giải:
Δ ABC cân tại A
⇒ phân giác AI đồng thời là trung tuyến
⇒ AI đi qua trọng tâm G của Δ ABC
Vậy A, I, G thẳng hàng.
Bài 46 trang 46: Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Bài giải:
* Nếu O là điểm nằm trong Δ ABC
Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ BC, OI ⊥ AC
Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA nên: OH = OK = OI
+) Ta có: OH = OK nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠ ABC.
Do OK = OI nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠ ACB
Do OH = OI nên O nằm trên đường phân giác của góc ∠ BAC
Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của Δ ABC
* Nếu O' nằm ngoài Δ ABC
Kẻ O'D ⊥ AB, O'E ⊥ BC, O'F ⊥ AC
Vì O' cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC nên: O'D = O'E = O'F
Vì O'D = O'F nên O' nằm trên tia phân giác của ∠ (BAC)
Vì O'D = O'E nên O' nằm trên tia phân giác của ∠ (DBC)
Suy ra O' là giao điểm phân giác trong của ∠ (BAC) và phân giác ngoài tại đỉnh B.
Khi đó A, O, O' thẳng hàng (vì hai tia AO và AO’ đều là tia phân giác của góc BAC) và A, H, D thẳng hàng
Ta có: OH < O'D
Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong Δ ABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.
Bài 47 trang 46: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Bài giải:Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC
Vì AM là tia phân giác của ∠ (BAC) nên MH = MK (tính chất tia phân giác)
Xét hai tam giác MHB và MKC, ta có:
∠ (MHB) = ∠ (MKC) = 90º
MH = MK (chứng minh trên)
MB = MC (giả thiết)
Suy ra: Δ MHB = Δ MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠ B = ∠ C (hai góc tương ứng)
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 48 trang 46: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC.
Bài giải:
Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của góc A.
Gọi H là trung điểm của BC
Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.
Bài 49 trang 46: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.
Bài giải:
Vì Δ ABC cân tại A và DB = DC (gt) nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của ∠ (BAC) (tính chất).
Ta có: DE ⊥ AB (giả thiết)
DF ⊥ AC (giả thiết)
Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc).
Bài 50 trang 46: Cho tam giác ABC có ∠ A = 70o, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính ∠ (BIC).
Bài giải:
Trong ∆ABC, ta có:
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: ∠ B + ∠ C = 180o - ∠ A = 180o - 70o = 110o
Ta có:
∠ (B1) = 1/2 ∠ B (vì BD là tia phân giác)
∠ (C1) = 1/2 ∠ C (vì CE là tia phân giác)
Trong ∆BIC, ta có:
∠ (BIC) + ∠ (B1) + ∠ (C1) = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
Suy ra: ∠ (BIC) = 180o - (∠ (B1) + ∠ (C1)) = 180o - 1/2 (∠ B + ∠ C)
= 180o - 1/2.110o = 125o
Bài 51 trang 46: Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó góc BIC bằng:
a) 120o
b) α (α > 90o)
Bài giải:
Trong Δ BIC có: ∠ (BIC) + ∠ B1 + ∠ C1 = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
Suy ra: ∠ B1 + ∠ C1 = 180o - ∠ (BIC)
Ta có:
∠ B1 = 1/2 ∠ B (vì BD là tia phân giác)
∠ C1 = 1/2 ∠ C (vì CE là tia phân giác)
Suy ra: ∠ B + ∠ C = 2 (∠ B1 + ∠ C1) = 2. (180o - ∠ (BIC))
Trong Δ ABC có: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: ∠ A = 180o - (∠ B + ∠ C) = 180o - 2. (180o - ∠ (BIC)) = 2. ∠ (BIC) – 180o
a) ∠ (BIC) = 120o thì ∠ A = 2.120o – 180o = 60o.
b) ∠ (BIC) = α thì ∠ A = 2. α – 180o.
Bài 52 trang 46: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Bài giải:
Kẻ IH ⊥ AB, IJ ⊥ BC, IG ⊥ AC, KD ⊥ AB, KE ⊥ AC, KF ⊥ BC
Vì I nằm trên tia phân giác của ∠ (BAC) nên IH = IG (tính chất tia phân giác)
Vì I nằm trên tia phân giác của ∠ (BCA) nên IJ = IG (tính chất tia phân giác)
Suy ra: IH = IJ
Do đó I nằm trên tia phân giác của ∠ (ABC) (1)
Vì K nằm trên tia phân giác của ∠ (DAC) nên KD = KE (tính chất tia phân giác)
Vì K nằm trên tia phân giác của ∠ (ACF) nên KE = KF (tính chất tia phân giác)
Suy ra: KD = KF
Do đó K nằm trên tia phân giác của ∠ (ABC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng.
Bài 53 trang 46: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
a. Chứng minh rằng AD = AE
b. Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.
Bài giải:
a. Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của B và C nên AI là tia phân giác của ∠ A.
Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)
Vì Δ ADI vuông tại D có AI là tia phân giác góc A nên:
Do đó: ΔADI vuông cân tại D
Suy ra: ID = DA (2)
Vì Δ AEI vuông tại E có
Suy ra: IE = AE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE.
b. Tam giác vuông BAC có ∠ A = 90o
Áp dụng định lí Pitago, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
= 62 + 82 = 36 + 64 = 100
⇒ BC = 10 (cm)
Kẻ IF ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB, ta có:
∠ (IDB) = ∠ (IFB) = 90o
∠ (DBI) = ∠ (FBI) (gt)
cạnh huyền BI chung
Suy ra: Δ IDB = Δ IFB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: DB = FB (hai cạnh tương ứng) (4)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:
∠ (IEC) = ∠ (IFC) = 90o
∠ (ECI) = ∠ (FCI) (gt)
cạnh huyền CI chung
Suy ra: Δ IEC = Δ IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng) (5)
Mà: AD + AE = AB - DB + AC - CE
Suy ra: AD + AE = AB + AC - (DB + CE) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC - (FB + FC)
= AB + AC - BC = 6 + 8 - 10 = 4 (cm)
Mà AD = AE (chứng minh trên)
Nên AD = AE = 4: 2 = 2 (cm).
Bài 6.1 trang 47 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?
(A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A.
(B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.
(C) Điểm O cách đều AB, BC.
(D) Điểm O cách đều AB, AC, BC.
Bài giải:Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.
Vậy (B) sai còn (A), (C), (D) đúng.
Chọn đáp án: (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.
Bài 6.2 trang 47: Cho tam giác ABC có ∠ A = ∠ B + ∠ C. Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng:
(A) 85o;
(B) 90o;
(C) 135o;
(D) 150o
Bài giải:Do AO, CO lần lượt là tia phân giác của ∠ A và ∠ C nên BO là tia phân giác của ∠ B
Xét tam giác OBC có:
Đáp án đúng là (C) 135º.
Bài 6.3 trang 47: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.
Bài giải:
Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc N và góc C. Do EF // BC nên ∠ B1= ∠ I1(so le trong), suy ra ∠ I2 = ∠ B2.
Suy ra: BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C.
Do EF // BC nên ∠ B1 = ∠ BIE (so le trong).
Lại có: ∠ B1 = ∠ B2 (vì BI là tia phân giác của góc B)
Suy ra: ∠ B2 = ∠ BIE
Vậy EF = EI + IF = BE + CF.
Bài 6.4 trang 47: Hai đường phân giác AA1 và BB1 của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu
a) ∠ (AMB) = 136o b) ∠ (AMB) = 111o.
Bài giải:
Ta có: ∠ A + ∠ B +∠ C = 180º (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra: ∠ C = 180º – (∠ A + ∠ B)
Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.
a) 1/2 (∠ A + ∠ B) = ∠ (MAB) + ∠ (MBA) = 180 − ∠ (AMB) = 180o − 136o = 44o
Suy ra ∠ A + ∠ B = 2.44o = 88o
∠ C = 180o − 88o = 92o
Vậy ∠ (ACM) = ∠ (BCM) = 92o: 2o = 46o
b) Ta có ½. (∠A + ∠B) = ∠ (MAB) + ∠ (MBA) = 180 − ∠ (AMB) = 180o − 111o = 69o.
Suy ra ∠ A + ∠ B = 138o
Suy ra ∠ C = 180o – (∠A + ∠B) = 180o − 138o = 42o.
Vì CM là tia phân giác của góc ACB nên: ∠ (ACM) = ∠ (BCM) = 420: 2 = 21o.