Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c) - trang 142 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Xét Δ ABC và Δ DEC, ta có:

AC = DC (gt)

∠ (ACB) =∠ (ECD) (đối đỉnh)

BC=EC (gt)

Suy ra: Δ ABC= Δ DEC (c. g. c)

⇒ ∠ A =∠ D ̂ (hai góc tương ứng).Mà ∠ A =90^o nên ∠ D =90^o

Bài 43 trang 142: Cho tam giác ABC có ∠ A =90^o, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Trên tia phân giác của góc B cắt AC ở D

a, So sánh các độ dài DA và DE

b, Tính số đo góc BED

Bài giải:

a, Xét Δ ABD và Δ EBD, ta có:

AB = BE (gt)

∠ (ABD) = ∠ (DBE) (vì BD là tia phân giác)

BC cạnh chung

Suy ra: Δ ABD = Δ EBD (c. g. c)

⇒ DA = DE (hai cạnh tương ứng)

b, Ta có: Δ ABD = Δ EBD (chứng minh trên)

Suy ra: ∠ A = ∠ (BED) (hai góc tương ứng)

Mà ∠ A =90^onên ∠ (BED) =90^o

Bài 44 trang 143: Cho tam giác AOB có OA = OB. Tia phân giác của góc O cắt AB ở D. Chứng minh rằng:

a. DA = DB

b. OD ⊥ AB

Bài giải:

a, Xét Δ AOD và Δ BOD, ta có:

OA = OB (gt)

∠ (AOD) = ∠ (BOD)(vì OD là tia phân giác)

OD cạnh chung

Suy ra: Δ AOD= Δ BOD (c. g. c)

Vậy: DA = DB (hai cạnh tương ứng)

b, Δ AOD= Δ BOD (chứng minh trên)

⇒ ∠ (ADO) = ∠ (BDO) (hai góc tương ứng) (1)

Ta có: ∠ (ADO) + ∠ (BDO) =180^o(hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (ADO) = ∠ (BDO) =90^o

Vậy: OD ⊥ AB

Bài 45 trang 143: Cho các đoạn thẳng AB và CD trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới). Chứng minh rằng AB = CD, AB // CD

Bài giải:

Gọi giao điểm của đường kẻ ngang đi qua điểm A và đường kẻ dọc đi qua điểm B cắt nhau tại H.

Giao điểm đường kẻ ngang đi qua C và đường kẻ dọc đi qua D là K

Xét Δ AHB và Δ CKD, ta có:

AH = CK (bằng 2 ô vuông)

∠ (AHB) =∠ (CKD) =90^o

BH = DK (bằng 3 ô vuông)

Suy ra Δ AHB= Δ CKD (c. g. c)

⇒ AB = CD (hai cạnh tương ứng) và ∠ (BAH) =∠ (DCK) (hai góc tương ứng)

Hai đường thẳng AB Và CD cắt đường thẳng AK có 2 góc ∠ (BAH) và ∠ (DCK) ̂ở vị trí đồng vị bằng nhau nên AB // CD.

Bài 46 trang 1431: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phía B đối với AC).Chứng minh rằng:

a. DC = BE

b. DC ⊥ BE

Bài giải:

a, ∠ DAC = ∠ DAB + ∠ BAC = 90^o + ∠ BAC

∠ BAE = ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ BAC + 90^o

⇒ ∠ DAC = ∠ BAE

Xét Δ ABE và Δ ADC, ta có:

b, Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K

Ta có: Δ ABE = Δ ADC (cmt)

⇒ ∠ ABE = ∠ ADC (hai góc t. ư)

hay ∠ HBK = ∠ ADH

+ Δ ADH và Δ BKH đều có tổng ba góc trong mỗi tam giác bằng 180^o nên có:

∠ ADH + ∠ DAH + ∠ AHD = ∠ BKH + ∠ KHB + ∠ HBK

Mà ∠ AHD = ∠ BHK (hai góc đối đỉnh)

∠ ADH = ∠ HBK (chứng minh trên)

Suy ra ∠ DAH = ∠ HKB

Mà ∠ DAH = 90^o nên ∠ HKB = 90^o

⇒ DC ⊥ BE (điều phải chứng minh)

Bài 47 trang 143: Cho tam giác ABC có ∠ B =2∠ C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK.

Bài giải:

Bài 48 trang 143: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN

Bài giải:

Xét Δ AKM và Δ BKC ta có:

AK = BK (Vì K là trung điểm AB)

∠ (AKM) =∠ (BKC) (đối đỉnh)

KM=KC (giả thiết)

Suy ra: Δ AKM = Δ BKC (c. g. c)

⇒ AM =BC (hai cạnh tương ứng)

Và ∠ (AMK) =∠ (BCK) (2 góc tương ứng)

Suy ra: AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Tương tự: Δ AEN= Δ CEB (c. g. c)

⇒ AN = BC (2 cạnh tương ứng)

Và ∠ (EAN) =∠ (ECB) (2 góc tương ứng)

Suy ra: AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Ta có: AM // BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay A, M, N thẳng hàng (1)

Lại có: AM = AN (vì cùng bằng BC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của MN

Bài 4.1 trang 143 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Cho hình bs 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Bổ sung thêm điều kiện sau thì Δ ACD = Δ DBA theo trường hợp cạnh - cạnh – cạnh hoặc cạnh – góc - cạnh.

a, ∠ (ADC) = ∠ (DAB);

b) ∠ (ACD) = ∠ (DBA);

c) ∠ (CAD) = ∠ (BDA);

d) CD = BA.

Bài giải:

a) Sai;

b) Sai;

c) Đúng;

d) Đúng.

Bài 4.2 trang 143: Cho hai đoạn thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Kẻ các đoạn thẳng AC, CB, BD, DA. Tìm các tia phân giác của các góc (khác góc bẹt) trên hình.

Bài giải:

+ Gọi giao điểm của AB và CD là I. Theo giả thiết I là trung điểm của CD và AB.

+) Xét tam giác ACI và tam giác ADI có:

AI chung

CI = DI (vì I là trung điểm của CD).

∠ AIC = ∠ DIA = 90º (vì AB vuông góc với CD tại I).

Suy ra: ∆ ACI = ∆ ADI (c. g. c)

Suy ra: ∠ CAI = ∠ ADI (hai góc tương ứng).

Do đó, AB là tia phân giác của góc ∠ CAD.

+) Chứng minh tương tự ta có: CD là tia phân giác của góc C, BA là tia phân giác của góc B, DC là tia phân giác của góc D.

Bài 4.3 trang 143: Cho tam giác nhọn ABC, M là trung điểm của BC. Đường vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AM tại D. Trên tia MA lấy điểm E sao cho ME = MD. Chứng minh rằng CE vuông góc với AB

Bài giải:

+) Xét Δ BMD và Δ CME có:

BM = MC (vì M là trung điểm BC)

MD = ME (giả thiết)

∠ BMD = ∠ EMC (hai góc đối đỉnh)

⇒ Δ BMD = Δ CME (c. g. c)

⇒ ∠ D = ∠ MEC (hai góc t. ư)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra BD // CE.

Ta có AB ⊥ BD (giả thiết) và BD // CE (chứng minh trên) nên AB ⊥ CE.

Bài 4.4 trang 144: Cho tam giác ABC có ∠ A = 110°, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA.

a) Tính số đo của góc ACK.

b) Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD vuông góc với AB và AD = AB, AE vuông góc với AC và AE = AC. Chứng minh rằng Δ CAK = Δ AED

c) Chứng minh rằng MA vuông góc với DE.

Bài giải:

a) Xét Δ AMB và Δ KMC có:

AM = MK (giả thiết)

BM = MC (vì M là trung điểm của BC)

∠ AMB = ∠ KMC (hai góc đối đỉnh)

⇒ Δ AMB = Δ KMC (c. g. c)

⇒ ∠ ABM = ∠ KCM (hai góc t. ư) và AB = CK

⇒ CK // AB (có cặp góc so le trong bằng nhau

+ Ta có: ∠ BAM + ∠ CAM = 110º ⇒ ∠ AKC + ∠ CAM = 110º (1)

Xét tam giác ACK có:

∠ AKC + ∠ CAM + ∠ ACK = 180º (tổng ba góc trong một tam giác). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ ACK = 180º - 110º = 70º

b) Có: ∠ DAE + ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 360^o

Mà ∠ DAB = ∠ CAE = 90^o; ∠ BAC = 110^o

⇒ ∠ DAE = 70^o

⇒ ∠ DAE = ∠ ACK

+) Xét Δ CAK và Δ AED có:

AC = AE (gt)

∠ ACK = ∠ DAE (chứng minh trên)

CK = AD (cùng = AB)

⇒ Δ CAK = Δ AED (c. g. c)

c) Gọi H là giao điểm của MA và DE.

Δ CAK = Δ AED nên ∠ A₁ = ∠ E. (3)

+) Ta có: ∠ A₁ + ∠ CAE + ∠ A₂ = 180º

Thay số: ∠ A₁ + 90º + ∠ A₂ = 180º ⇒ ∠ A₁ + ∠ A₂ = 90º (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠ A₂ + ∠ E = 90º

Do đó MA ⊥ DE.