Trang chủ > Lớp 7 > Giải SBT Toán 7 > Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác - trang 137 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác - trang 137 sách bài tập Toán 7 Tập 1

Bài 1 trang 137 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tính giá trị x ở hình dưới:

Bài giải:

- Trong Δ ABC ta có:

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

hay x + 30^o + 110^o = 180^o

⇒ x = 180^o – 30^o – 110^o = 40^o.

- Trong Δ DEF có:

∠ D + ∠ E + ∠ F = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

hay x + x + 40^o = 180^o

Bài 2 trang 137: Cho tam giác ABC có ∠ A =60^o,∠ C =50^o. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tính ∠ ADB, ∠ CDB

Bài giải:

Trong Δ ABC ta có:

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^o(tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ∠ B = 180^o - (∠ A +∠ C)

⇒ x = 180^o - (60^o + 50^o) = 70^o

(∠ B₁) = (∠ B₂) = (1/2)∠ B (vì BD là tia phân giác)

⇒ ∠ B₁ = ∠ B₂ = 70^o: 2 = 35^o

Trong Δ BCD ta có ∠ (ADB) là góc ngoài tại đỉnh D

⇒ ∠ (ADB) = ∠ (B₁) + ∠ C (tính chất góc ngoài tam giác)

Nên ∠ (ADB) = 35º + 50º = 85º

+) Do ∠ (ADB) + ∠ (BDC) = 180^o(hai góc kề bù)

⇒ ∠ (BDC) = 180^o-∠ (ADB) = 180^o - 85^o = 95^o

Bài 3 trang 137: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác đó. Tia BM cắt AC ở K.

a) So sánh ∠ (AMK) và ∠ (ABK)

b) So sánh ∠ (AMC) và ∠ (ABC)

Bài giải:

Trong Δ AMB ta có góc AMK là góc ngoài tại đỉnh M.

⇒ ∠ (AMK) > ∠ (ABK) (tính chất góc ngoài tam giác) (1)

Trong Δ CBM ta có góc KMC là góc ngoài tại đỉnh M

⇒ ∠ (KMC) > ∠ (MBC) (tính chất góc ngoài tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có: ∠ (AMK) +∠ (KMC) > ∠ (ABM) +∠ (MBC)

Suy ra: ∠ (AMC) > ∠ (ABC)

Bài 4 trang 137: Hãy chọn giá trị đúng của x trong các kết quả A, B, C, D (xem hình dưới, trong đó IK//EF)

A) 100^o

B) 70^o

C) 80^o

D) 90^o

Bài giải:

Ta có: IK //EF suy ra ∠ IKF + ∠ F = 180^o(hai góc trong cùng phía)

Do đó ∠ F = 180^o - ∠ (IKF) =180^o - 140^o = 40^o

Trong Δ OEF ta có góc ngoài tại đỉnh E bằng 130^o nên: ∠ E = ∠ O + ∠ F

suy ra: ∠ O = ∠ O + ∠ F = 130^o-∠ F = 130^o-40^o = 90^o

Đáp án đúng là D

Bài 5 trang 137: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), kẻ CK vuông góc với AB (K thuộc AB). Hãy so sánh ∠ (ABH) và ∠ (ACK. )

Bài giải:

Tam giác ABH vuông tại H

⇒ ∠ (ABH) +∠ A =90^o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (ABH) =90^o - ∠ A (1)

Tam giác ACK vuông tại K

⇒ ∠ (ACK) +∠ A =90^o(tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (ACK) =90^o-∠ A (2)

từ (1) và (2) suy ra: ∠ (ACK) =∠ (ABH)

Bài 6 trang 137: Cho tam giác ABC có ∠ B =∠ C =50^o. Gọi Am là tia phân giác của góc ngoaì ở đỉnh A. Hãy chứng tỏ rằng Am // BC.

Bài giải:

Trong Δ ABC có ∠ (CAD) là góc ngoài đỉnh A

⇒ ∠ (CAD) =∠ B +∠ C =50^o+50^o=100^o

(tính chất góc ngoài tam giác)

∠ (A₁) =∠ (A₂) =1/2 ∠ (CAD) =50^o (vì tia Am là tia phân giác của ∠ (CAD)

Suy ra: ∠ (A₁) =∠ C =50^o

⇒ Am // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Bài 7 trang 137:

a, Một góc nhọn của eke bằng 30^o. Tính góc nhọn còn lại.

b, Một góc nhọn của eke bằng 45^o. Tính góc nhọn còn lại

Bài giải:

Vì eke là một tam giác vuông, nên:

a) Một góc nhọn của eke bằng 30^o thì góc nhọn còn lại bằng:

90^o- 30^o= 60^o

b) Một góc nhọn của eke bằng 45^o thì góc nhọn còn lại bằng:

90^o - 45^o= 45^o

Bài 8 trang 138: Cho tam giác ABC có ∠ A =100^o,∠ B -∠ C =20^o. Tính ∠ B và∠ C

Bài giải:

Trong Δ ABC, ta có:

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ∠ B + ∠ C = 180^o - ∠ A = 180^o – 100^o = 80^o (1).

Theo giả thiết ta có: ∠ B -∠ C = 20^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2∠ B = 100^o ⇒ ∠ B = 50^o

Vậy: ∠ C = 80^o - 50^o = 30^o

Bài 9 trang 138: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tìm góc bằng góc B.

Bài giải:

Có thể tìm góc B bằng hai cách:

Cách 1

Ta có: ∠ (A₁) + ∠ (A₂) = ∠ (BAC) = 90^o(1)

Vì Δ AHB vuông tại H nên:

∠ B + ∠ (A₁) = 90^o(tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠ B = ∠ (A₂)

Cách 2

Vì Δ ABC vuông tại A nên:

∠ B +∠ C = 90^o (theo tính chất tam giác vuông) (1)

Vì Δ AHC vuông tại H nên:

∠ (A₂) + ∠ C = 90^o (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ B = ∠ (A₂)

Bài 10 trang 138: Cho hình dưới:

a. Có bao nhiêu tam giác vuông trong hình?

b. Tính số đo các góc nhọn ở các đỉnh C, D, E

Bài giải:

Có 5 tam giác vuông trong hình:

Δ ABC vuông tại B

Δ CDB vuông tại B

Δ EDA vuông tại D

Δ DCA vuông tại C

Δ DCE vuông tại C

Δ ABC vuông tại B suy ra:

∠ A +∠ (ACB) =90^o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (ACB) =90^o-∠ A =90^o-40^o=50^o

∠ (ACB) +∠ (BCD) =∠ (ACD) =90^o

⇒ ∠ (BCD) =90^o-∠ (ACB) =90^o-50^o=40^o

Δ ACD vuông tại C suy ra:

∠ A +∠ (CDA) =90^o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (CDA) =90^o-∠ A =90^o-40^o=50^o

∠ (CDA) +∠ (CDE) =∠ (ADE) =90^o

⇒ ∠ (CDE) =90^o-∠ (CDA) =90^o-50^o=40^o

Δ DAE vuông tại D suy ra:

∠ A +∠ E =90^o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ E =90^o-∠ A =90^o-40^o=50^o

Bài 11 trang 138: Cho tam giác ABC có ∠ B =70^o; ∠ C =30^o. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Kẻ AH vuông góc vói BC (H thuộc BC)

a) Tính ∠ (BAC)

b) Tính ∠ (ADH)

c) Tính ∠ (HAD)

Bài giải:

a) Trong Δ ABC có:

∠ (BAC) + ∠ B + ∠ C = 180^o (tổng ba góc trong tam giác)

Mà ∠ (BAC) + 70^o + 30^o = 180

Vậy ∠ (BAC) = 180^o-70^o - 30^o = 80^o

b) Ta có: ∠ (A₁) = (1/2)∠ (BAC) = (1/2).80^o = 40^o

(vì AD tia phân giác của góc BAC)

Trong Δ ADC ta có ∠ (ADH) là góc ngoài tại đỉnh D

Do đó: ∠ (ADH) = ∠ (A₁) + ∠ C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Vậy ∠ (ADH) = 40^o + 30^o = 70^o

c) Δ ADH vuông tại H nên:

∠ (HAD) + ∠ (ADH) = 90^o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠ (HAD) = 90^o-∠ (ADH)^o = 90^o - 70^o = 20^o

Bài 12 trang 138: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Tính ∠ (BIC) biết rằng:

a) ∠ B = 80^o,∠ C = 40^o

b) ∠ A = 80^o

c) ∠ A = m^o

Bài giải:

a) ∠ B = 80^o, ∠ C = 40^o

Ta có:

∠ (B₁) = (1/2)∠ (ABC) = (1/2).80^o = 40^o (vì BD là tia phân giác ∠ (ABC))

∠ (C₁) = (1/2)∠ (ACB) = (1/2).40^o = 20^o (vì CE là tia phân giác ∠ (ACB))

Trong Δ IBC, ta có: ∠ (BIC) + ∠ (B₁) + ∠ (C₁) = 180^o(tổng 3 góc trong tam giác)

Vậy: ∠ (BIC) = 180^o - (∠ (B₁) + ∠ (C₁)) = 180^o - (40^o + 20^o) = 120^o

b) Ta có:

+ Trong Δ BIC có ∠ BIC = 180^o - (∠ B₁ + ∠ C₁) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ ABC và ∠ BCA nên:

∠ B₁ = 1/2. ∠ ABC; ∠ C₁ = 1/2. ∠ ACB

⇒ ∠ B₁ + ∠ C₁ = 1/2. (∠ ABC + ∠ ACB) (2)

⇒ ∠ ABC + ∠ ACB = 180 - ∠ A (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠ BIC = 180^o - 1/2. (180 - ∠ A) = 90^o + 1/2. ∠ A

+) Nếu ∠ A = 80^o ⇒ ∠ BIC = 90º + 1/2.80^o = 130^o.

+) Nếu ∠ A = m^o ⇒ ∠ BIC = 90^o + 1/2. m^o.

Bài 13 trang 138: Trên hình bên có Ax song sog với By, ∠ (CAx) =50^o,∠ (CBy) =40^o. Tính ∠ (ACB) bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.

Bài giải:

Kéo dài AC cắt By tại D

Vì By // Ax suy ra ∠ (D₁) = ∠ A (hai góc so le trong)

Mà ∠ A = 50^o(gt) nên ∠ (D₁) = 50^o

TrongΔ BCD ta có ∠ (ACB) là góc ngoài tại đỉnh C

⇒ ∠ (ACB) = ∠ B + ∠ (D₁) (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒ ∠ (ACB) = 40^o + 50^o = 90^o

Bài 14 trang 138: Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác thì bằng 360º

Bài giải:

Ta có: ∠ (A₁) +∠ (A₂) =180^o(hai góc kề bù)

∠ (B₁) +∠ (B₂) =180^o(hai góc kề bù)

∠ (C₁) +∠ (C₂)=180^o(hai góc kề bù)

Suy ra: ∠ (A₁) +∠ (A₂) +∠ (B₁) +∠ (B₂) +∠ (C₁) +∠ (C₂) = 180º + 180º + 180º =540^o

⇒ ∠ (A₂) + ∠ (B₂) +∠ (C₂) =540^o- (∠ (A₁) +∠ (B₁) +∠ (C₁)) (1)

Trong Δ ABC, ta có:

∠ (A₁) +∠ (B₁) +∠ (C₁) =180^o (tổng ba góc trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ (A₂) +∠ (B₂) +∠ (C₂) =540^o-180^o=360^o

Bài 15 trang 138: Cho tam giác ABC có ∠ A =90^o. Gọi E là điểm nằm trên tam giác đó. Chứng minh rằng góc BEC là góc tù.

Bài giải:

Kéo dài AE cắt BC tại D

Trong ∆ABE ta có ∠ E₁ là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠ E₁ > ∠ A₁ (tính chất góc ngoài tam giác)(1)

Trong ∆AEC ta có ∠ E₂ là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠ E₂ > ∠ A₂ (tính chất góc ngoài tam giác)(2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

∠ E₁ + ∠ E₂ > ∠ A₁ +∠ A₂

Hay ∠ (BEC) > ∠ (BAC) = 90º

Vậy góc (BEC) là góc tù.

Bài 16 trang 139: Cho tam giác ABC có ∠ A=90^o, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Các tia phân giác của ∠ C và ∠ BAH cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: ∠ (AIC)=90^o

Bài giải:

Ta có: AH⊥ BC (gt) ⇒ Δ AHB vuông tại H

Trong tam giác vuông AHB ta có: ∠ BHA = 90^o

⇒ ∠ B + ∠ BAH = 90^o (1)

Trong tam giác vuông ABC ta có: ∠ BAC = 90^o

⇒ ∠ B + ∠ C = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ BAH = ∠ C (3)

+) Vì AI là tia phân giác của góc BAC nên:

∠ (BAI) = ∠ (IAH) = 1/2. ∠ BAH (4)

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên:

∠ (ACI) = ∠ (ICB) = 1/2. ∠ C (5)

+) Từ (3); (4) và (5) suy ra:

∠ (BAI) = ∠ (IAH) = ∠ (ACI) = ∠ (ICB)

+) Lại có:

∠ BAI + ∠ IAC = 90º

Suy ra: ∠ ICA + ∠ IAC = 90º

Trong ΔAIC có: ∠ ICA+ ∠ IAC = 90º

Vậy: ∠ AIC = 90º.

Bài 17 trang 139: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của các cặp góc trong cùng phía vuông goác với nhau.

Bài giải:

Giả sử đường thẳng AB // CD cắt đường thẳng EF tại E và F

Ta có: ∠ BEF + ∠ EFD = 180^o (hai góc trong cùng phía)

+) Do EK là tia phân giác của góc ∠ BEF nên:

∠ E₁ = 1/2. ∠ (BEF) (1)

+) Do FK là tia phân giác của góc EFD nên:

∠ F₁ = 1/2. ∠ EFD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

∠ E₁ +∠ F₁ =1/2. (∠ BEF + ∠ EFD) = 1/2.180º = 90º (∠ BEF + ∠ EFD = 180º hai góc trong cùng phía)

Trong Δ EKF, ta có:

∠ EKF = 180^o- (∠ E₁ + ∠ F₁) = 180^o-90^o=90^o

Vậy EK ⊥ FK

Bài 18 trang 139: Cho tam giác ABC có: ∠ B - ∠ C = 20^o. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. tính số đo các góc ∠ (ADC), ∠ (ADB)

Bài giải:

Trong Δ ABD ta có ∠ D₁ là góc ngoài tại đỉnh D

∠ D₁ = ̂B + ∠ A₁ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Trong Δ ADC ta có ∠ D₂ là góc ngoài tại đỉnh D

∠ D₂ = ̂C + ∠ A₂ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Ta có: ∠ B > ∠ C (gt); ∠ A₁ = ∠ A₂ (gt)

⇒ ∠ D₁ - ∠ D₂ = (B + ∠ A₁) - (C + ∠ A₂) = ∠ B - ∠ C = 20^o

Lại có: ∠ D₁ + ∠ D₂ = 180^o (hai góc kề bù)

⇒ ∠ D₁ = (180^o + 20^o): 2 = 100^o

⇒ ∠ D₁ = (100^o - 20^o) = 80^o

Bài 1.1 trang 139 sách bài tập Toán 7 Tập 1: Tam giác ABC có ∠ A = 40^o. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I.

Góc BIC bằng:

(A) 40^o;

(B) 70^o;

(D) 140^o.

Bài giải:

Ta có:

+ Trong ΔBIC có ∠ BIC = 180º - (∠ B₁ + ∠ C₁) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ ABC và ∠ BCA nên:

∠ B₁ = 1/2. ∠ BAC; ∠ C₁ = 1/2. ∠ ACB

⇒ ∠ B₁ + ∠ C₁ = 1/2. (∠ BAC + ∠ BCA) (2)

+ Trong ΔABC có: ∠ BAC + ∠ BCA = 180 - ∠ A =140º (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠ BIC = 180º - 1/2.140º = 110º

Chọn đáp án C

Bài 1.2 trang 139: Tam giác ABC có ∠ A= 75^o. Tính ∠ B và ∠ C, biết:

a) ∠ B= 2∠ C;

b) ∠ B - ∠ C= 25^o.

Bài giải:

Bài 1.3 trang 139: Tam giác ABC có ∠ B = 110^o, ∠ C = 30^o. Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác của góc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng tam giác KAB có hai góc bằng nhau.

Bài giải:

+) Hai góc ∠ABK và ∠ABC là hai góc kề bù nên:

∠ABK = 180° - ∠ABC = 180° - 110° = 70° (1)

+) Góc Bax là góc ngoài tam giác tại đỉnh A của tam giác ACK nên:

∠BAx = 110° + 30° = 140° (tính chất góc ngoài tam giác).

+) Do AK là tia phân giác của góc BAx nên:

∠BAK = ∠BAx: 2 = 140°: 2 = 70°. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác KAB có hai góc bằng nhau.

Bài 1.4 trang 139: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D và cắt d ở E. Chứng minh rằng tam giác CDE có hai góc bằng nhau.

Bài giải:

+) Ta có BD là tia phân giác của góc ABC nên: ∠ (ABD) = ∠ (DBC) (1)

+ Lại có: ∠ (ADB)= ∠ (CDE) (hai góc đối đỉnh) (2)

+) Tam giác ABD vuông tại A nên:

∠ (ABD) + ∠ (ADB) = 90° (tính chất tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ (DBC) + ∠ (CDE) = 90° (4)

+) Tam giác BCE vuông tại C nên:

∠ (DBC) + ∠ (BEC) = 90° (tính chất tam giác vuông) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ∠ (CDE) = ∠ (BEC)

Vậy tam giác CDE có hai góc bằng nhau.

Bài trước: Ôn tập chương 1 - trang 113 sách bài tập Toán 7 Tập 1 Bài tiếp: Bài 2: Hai tam giác bằng nhau - trang 139 sách bài tập Toán 7 Tập 1