Ôn tập chương 4 - trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2
Ôn tập chương 4
Bài 67 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hai hàm số: y = 2x – 3 và y = -x 2
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị
c. Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và y = -x 2
Bài giải:a. * Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3
Cho x = 0 thì y = -3 ⇒ (0; -3)
Cho y = 0 thì x = 3/2⇒ (3/2; 0)
* Vẽ đồ thị hàm số y = - x2
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = -x 2 | -4 | -1 | 0 | -1 | 4 |
* Đồ thị được vẽ như sau:
b. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là A (1; -1) và B (-3; -9)
c. Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = 2x – 3, ta có:
-1 = 2.1 – 3 = -1;
-9 = 2. (-3) – 3 = -6 – 3 = -9
Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = -x 2, ta có:
-1 = - (1) 2 = -1;
-9 = - (3) 2 = -9
Vậy tọa độ điểm A và B là nghiệm của hệ phương trình:
Bài 68 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. 3x 2 + 4 (x – 1) = (x – 1) 2 + 3
b. x2 + x + √ 3= √ 3x + 6
Bài giải:
a. Ta có: 3x 2 + 4 (x – 1) = (x – 1) 2 + 3
⇔ 3x 2 + 4x – 4 = x 2 – 2x + 1 + 3
⇔ 2x 2+ 6x – 8 = 0 ⇔ x 2 + 3x – 4 = 0
Phương trình x 2 + 3x – 4 = 0 có hệ số a = 1, b = 3, c = -4 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x1 = 1, x2 = -4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = -4
b. Ta có: x2+ x + √ 3= √ 3x + 6
⇔ x2 + x - √ 3x + √ 3– 6 = 0
⇔ x2 + (1 - √ 3)x + √ 3– 6 = 0
Δ = (1 - √ 3) 2 – 4.1. (√ 3– 6) = 1 - 2 √ 3+ 3 - 4 √ 3+ 24
= 28 - 6 √ 3= 27 – 2.3 √ 3+ 1 = (3 √ 3)2 – 2.3 √ 3+ 1= (3 √ 3– 1) 2 > 0
√ Δ = √ [3 (√ 3 – 1)2] = 3 √ 3– 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 2 √ 3– 1, x2 = - √ 3
Phương trình 5x2 – 7x + 2 = 0 có hệ số a = 5, b = -7, c = 2 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x1 = 1 (loại), x2 = 2/5
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 2/5
Bài 69 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương sau:
a. x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35
b. 2x4 + x2 – 3 = x4 + 6x2 + 3
c. 3x4 – 6x2 = 0
d. 5x4 – 7x2 – 2 = 3x4 – 10x2 – 3
Bài giải:a. Ta có: x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35
⇔ x4 + 2x2 – x + 1 - 15x2 + x + 35 = 0
⇔ x4 – 13x2 + 36 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 – 13x2 + 36 = 0 ⇔ m2 – 13m + 36 = 0
Δ = (-13)2 – 4.1.36 = 169 – 144 = 25 > 0
√ Δ = √ 25 = 5
Ta có:
x2 = 9 ⇒ x = ±3
x2 = 4 ⇒ x = ±2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = 3; x2 = -3; x3 = 2; x4 = -2
b. Ta có: 2x4 + x2 – 3 = x4 + 6x2 + 3
⇔ 2x4 + x2 – 3 – x4 – 6x2 – 3 = 0
⇔ x4 – 5x2 – 6 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 – 5x2 – 6 = 0 ⇔ m2 – 5m – 6 = 0
Δ = (-5)2 – 4.1. (-6) = 25 + 24 = 49 > 0
√ Δ = √ 49 = 7
Ta có: x2 = 6 ⇒ x = ±√ 6
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = √ 6, x2 = -√ 6
c. Ta có: 3x4 – 6x2 = 0 ⇔ 3x2(x2 – 2) = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 2; x3 = -2
d. Ta có: 5x4 – 7x2 – 2 = 3x4 – 10x2 – 3
⇔ 5x4 – 7x2 – 2 – 3x4 + 10x2 + 3 = 0
⇔ 2x4 + 3x2 + 1 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 2x4 + 3x2 + 1 = 0 ⇔ 2m2 + 3m + 1 = 0
Phương trình 2m2 + 3m + 1 = 0 có hệ số a = 2, b = 3, c = 1 nên có dạng :
a – b + c = 0 suy ra m1 = -1, m2 = -1/2
Cả hai giá trị của m đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện bài toán. (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 70 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a. (x2 – 2x)2 – 2x2 + 4x – 3 = 0
b. 3√ (x2 + x + 1)– x = x2 + 3
Bài giải:a. Đặt m = x 2 – 2x
Ta có: (x 2 – 2x) 2 – 2x 2 + 4x – 3 = 0
⇔ (x2– 2x) 2 – 2 (x2 – 2x) – 3 = 0
⇔ m2– 2m – 3 = 0
Phương trình m2 – 2m – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0
Suy ra: m1 = -1, m2 = 3
+) Với m = -1 ta có: x2 – 2x = -1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0
Phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = 1 nên có dạng a + b + c = 0
Suy ra: x1= x2 = 1
+) Với m = 3 ta có: x2 – 2x = 3 ⇔ x2– 2x – 3 = 0
Phương trình x2 – 2x – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0
Suy ra: x1 = -1, x2= 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 3
Bài 71 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình: x2 – 2 (m + 1)x + m2 + m – 1 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b. Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2, hãy tính theo m: x1 + x2; x1x2; x12 + x22
Bài giải:a. Ta có: Δ ' = [- (m + 1)] 2 - 1. (m2 + m – 1)
= m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2
Phương trình có nghiệm khi Δ ' ≥ 0 ⇒ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2
Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
b. Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2, theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = -b/a = - [-2 (m + 1)]/1 = 2 (m + 1)/1 = 2 (m + 1)
x1x2 = ca = m2 + m - 11 = m2 + m – 1
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m + 2)2 – 2 (m2 + m – 1)
= 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 2m + 2 = 2m2 + 6m + 6
Bài 72 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng -10
Bài giải:Vì hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -10 nên nó là nghiệm của phương trình: x2 – 10x – 10 = 0
Ta có: Δ ' = (-5)2 – 1. (-10) = 25 + 10 = 35 > 0
√ Δ ' = √ 35
Vậy hai số đó là 5 + √ 35 và 5 - √ 35
Bài 73 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Bài giải:Gọi x (tấn) là lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch. Điều kiện: x > 0
Thời gian dự định khai thác là 216/x (ngày)
Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x (tấn)
Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là 232 – 3x (tấn)
Thời gian đội khai thác 232 – 3x tấn than là (232 - 3x)/ (x + 8) (ngày)
Theo đề bài, ta có phương trình:
Giá trị x = -72 không thỏa mãn điều kiện bài toán. (LOẠI)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác 24 tấn than.
Bài 74 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B rồi trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.
Đáp án:Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.
Điều kiện: x > 3
Khi đó vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3 (km/h)
Vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 30/ (x + 3) (giờ)
Thời gian ca nô đi ngược dòng là 30/ (x - 3) (giờ)
Thời gian ca nô nghỉ ở B là 40 phút = 2/3 (giờ)
Theo đề bài, ta có phương trình:
Giá trị x = - 3/4 không thỏa mãn điều kiện bài toán. (LOẠI)
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Bài 1 trang 64 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = -3x2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) Khi 0 < x < 15, hàm số đồng biến
B) Khi -1 < x < 1, hàm số đồng biến
C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến
D) Khi -15 < x < 1, hàm số đồng biến
Bài giải:Đáp án đúng là C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến.
Bài 2 trang 64 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta giải phương trình nào sau đây?
A) x2 + Sx + P = 0
B) x2 - Sx + P = 0
C) x2 - Sx - P = 0
D) x2 + Sx - P = 0
Bài giải:Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình: x2 - Sx + P = 0.
Đáp án đúng là B)
Bài 3 trang 64 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
Bài giải:
d)
Bài 4 trang 64 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm. Xác định p biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 254.
Bài 5 trang 64 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình: x4 - 13x2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Bài giải:a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.
Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi Δ = 169 - 4m = 0
Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
Vậy với m = 169/4 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép t1 = t2 = 13/2 ≠ 0)
Nếu phương trình (2) có một nghiệm t1 = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
t1 + t2 = 13 ⇔ t2 = 13 - t1 = 13 - 0 = 13 > 0
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
t1 + t2 = 13 > 0 vô lý
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.
Suy ra: Δ = 169 - 4m < 0 ⇔ m > 169/4