Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng - trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2

a) Phương trình:

7x² - 9x + 2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là:

x₁ = 1

x₂ = c/a = 2/7

b) Phương trình 23x² - 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32

Ta có: a –b +c =23 – (-9) + (-32) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁= -1, x₂ = -c/a = - (-32)/23 = 32/23

c. Phương trình 1975x² + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979

Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = -1979/1975

d) Phương trình (5 +√ 2)x² + (5 - √ 2)x -10 = 0 có hệ số

a =5 +√ 2, b = 5 - √ 2, c = -10

Ta có: a +b +c =5 +√ 2 +5 - √ 2 + (-10)=0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = ca = (-10)/ (5+ √2)

e. Phương trình ⇔ 2x√ - 9x + 11 = 0 có hệ số a = 2, b = 9, c = -11

Ta có: a –b +c =2 – (-9) + (-11) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁=-1, x₂ = -c/a = - (-11)/2 =11/2

f. Phương trình 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311x² – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = 198/311

Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. x²-6x +8=0

b. x² -12x + 32 =0

c. x² +6x +8 =0

d. x² -3x -10 =0

e. x² +3x -10 =0

a. Ta có: Δ ’ = (-3)2 -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =2, x₂ =4

b. Ta có: Δ ’ = (-6)² -1.32 = 36 - 32 = 4 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =4, x₂ =8

c. Ta có: Δ ’ = 3² -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =-4

d. Ta có: Δ = (-3)² -4.1. (-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =5

e. Ta có: Δ = 3² -4.1. (-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x² +2x -21 =0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia

b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x² -3x +115=0 có một nghiệm là 5. Hãy tìm nghiệm kia

a. Thay x = -3 vào vế trái của phương trình, ta có:

3. (-3)²+2 (-3) -21 =27 – 6 -21 =0

Vậy = -3 là nghiệm của phương trình 3x² +2x -21 =0

Theo hệ thức vi-ét ta có: x₁x₂ = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x₂ = -7/x₁ = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

b. Thay x = 5 vào vế trái của phương trình, ta có:

-4.5² -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình -4x² -3x + 115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = c/a = 115/-4 ⇒ 5x₂ = -115/4 ⇒ x₂ = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4

Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a. Phương trình x² +mx -35 =0 có nghiệm x₁ =7

b. Phương trình x² -13x+m=0 có nghiệm x₁ =12,5

c. Phương trình 4x² +3x – m² +3m =0 có nghiệm x₁ =-2

d. Phương trình 3x² -2 (m -3)x +5 =0 có nghiệm x₁ =13

a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = -35

Suy ra 7x₂ = -35 ⇔ x₂ = -5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =-m

Suy ra: m= -7 +5 ⇔ m = -2

Vậy với m = -2 thì phương trình x² + mx - 35 = 0 có hai nghiệm x₁ = 7, x₂ = -5

b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² - 13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ = 12,5, x₂ = 0,5

c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - 3/4

Suy ra: -2 + x₂ = - 3/4 ⇔ x₂ = -3/4 + 2 = 5/4

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = (-m²+3m)/4

Suy ra: -2.5/4 = (-m²+3m)/4 ⇔ m² -3m -10 =0

Δ = (-3)² -4.1. (-10) =9+40 =49

√ Δ =√ 49 =7

m¹ = (3 +7)/ (2.1) =5; m² = (3 -7)/ (2.1) =-2

Vậy với m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x² +3x – m² +3m = 0 có hai nghiệm x₁ = -2, x₂ = 5/4

d) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = 5/3

Suy ra: 1/3. x₂ = 5/3 ⇔ x₂ = 5/3: 1/3 = 5/3.3 = 5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = [2 (m -3)]/3

Suy ra: 1/3 + 5 = [2 (m -3)]/3 ⇔ 2 (m -3) =16 ⇔ m - 3 = 8 ⇔ m = 11

Vậy với m = 11 thì phương trình 3x² -2 (m -3)x +5 =0 có hai nghiệm x₁ = 13, x₂ = 5

Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a. u +v =14, uv =40 b. u +v =-7, uv =12

c. u +v =-5, uv =-24 d. u +v =4, uv =19

e. u – v =10, uv =24 f. u² + v² =85, uv =18

a) Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình x² -14x + 40=0

Δ ’= (-7)² – 1.40=49 -40 =9 > 0

√ Δ ' = √ 9 =3

Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10

b. Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình x² +7x + 12=0

Δ = (7)² – 4.1.12=49 -48=1 > 0

√ Δ =√ 1 =1

Vậy u=-3, v=-4 hoặc u=-4, v=-3

c. Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình x² +5x -24 =0

Δ = (5)² – 4.1. (-24)= 25 +96=121 > 0

√ Δ = √ 121 =11

Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3

d. Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình x² - 4x +19 = 0

Δ ’= (-2)² – 1.19= 4 - 19=-15 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e. Hai số u và v với u – v =10 suy ra: u + (- v) = 10 và uv = 24 suy ra u (-v) = -24 nên nó là nghiệm của phương trình x2 -10x -24 =0

Δ ’= (-5)² – 1. (-24)= 25 +24=49 > 0

√ Δ ' = √ 49 =7

Vậy u = 12, -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12, v = 2 hoặc u = -2, v = -12

f. Hai số u và v với u² + v² =85 và uv =18 suy ra: u²v²=324 nên u² và v² là nghiệm của phương trình x² -85x +324 =0

Δ = √ (-85)² – 4.1.324= 7225 – 1296=5929 > 0

√ Δ = √ 2959 =77

Ta có: u² =81, v² =4 suy ra: u =±9, v=± 2

hoặc u² =4, v² =81 suy ra: u =±2, v=± 9

Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9, v=-2

nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2, v=-9

Bài 42 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Lập phương tình có hai nghiệm là hai số được cho mỗi trường hợp sau:

a. 3 và 5 b. -4 và 7

c. -5 và 1/3 d. 1,9 và 5,1

e. 4 và 1 -√ 2 f. 3 - √ 5 và 3 + √ 5

a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x -3)(x -5) = 0 ⇔ x² -3x -5x +15 =0 ⇔ x² -8x +15 =0

b. Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x +4)(x -7) = 0 ⇔ x² +4x -7x -28 =0 ⇔ x² -3x -28 =0

c. Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:

(x +5)(x -1/3)=0 ⇔ x² +5x -1/3 x -5/3 =0 ⇔ 3x² +14x - 5 =0

d. Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(x - 1,9) (x -5,1)=0 ⇔ x² - 1,9x - 5,1x + 9,69 = 0

⇔ x² -7x + 9,69 = 0

e. Hai số 4 và 1 -√ 2 là nghiệm của phương trình:

(x - 4)[x – (1 -√ 2)] =0 ⇔ (x -4)(x -1 +√ 2) =0

⇔ x² - x +√ 2 x -4x +4 - 4√ 2 =0

⇔ x² – (5 -√ 2)x +4 - 4√ 2 =0

f. Hai số 3 - √ 5 và 3 + √ 5 là nghiệm của phương trình:

[x – (3 - √ 5)] [x – (3 + √ 5)] = 0

⇔ x² – (3 + √ 5)x - (3 - √ 5)x + (3+ √ 5)(3 - √ 5) =0

⇔ x² -6x +4 =0

Bài 43 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + px – 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a. –x₁ và –x₂

a) Phương trình x₂+px -5=0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -p/1 = -p; x₁x₂ =-5/1 =-5 (1)

Hai số –x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

[x – (-x₁)] [x – (-x₂)] =0

⇔ x² – (-x₁x) – (-x₂x) + (-x₁) (-x₂) =0

⇔ x² + (x₁ + x₂x + x₁x₂) =0 (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x² – px -5 =0

Bài 44 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² -6x +m=0

Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ –x₂ = 4

Phương trình x² - 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ =- (-6)/1 = 6

Kết hợp với điều kiện x₁ – x₂ =4 ta có hệ phương trình:

Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình x₂ -6x +m=0 ta có:

x₁x₂ = m1 = m. Suy ra: m = 5.1 = 5

Vậy m =5 thì phương trình x² -6x +m=0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ =4

Bài 1 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

Bài 2 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x₁, x₂ la hai nghiệm của phương trình x² + px + q = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ + x₂, x₁x₂.

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: x² + px + q = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - p/1 = - p; x₁x₂ = q/1 = q

Phương trình có hai nghiệm là x₁ + x₂ và x₁x₂ tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(x + p)(x - q) = 0 ⇔ x² - qx + px - pq = 0 ⇔ x² + (q - p)x - pq = 0

Phương trình cần tìm: x² + (p - q)x - pq = 0

Bài 3 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

Bài 4 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình

(SBT)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.