Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Bài giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữ cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

14² = y. 16

x + y = 15 ⇒ x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75

Bài 2 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Bài giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

x² = 2. (2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

y² = 6. (2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = √ 48 = 4√ 3

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

x² = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

Bài 3 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Bài giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y² = 7² + 9² ⇒ y =

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x. y = 7.9 ⇒ x =

b. Hình b:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

5² = x. x = x² ⇒ x = 5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y² = x. (x + x) = 5. (5 + 5) = 50 ⇒ y = √ 50 = 5√ 2

Bài 4 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Bài giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

3² = 2. x ⇒ x = = 4,5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y² = x. (x + 2) = 4,5. (4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = √29,25

b. Hình b:

Ta có:

= 4.5 = 20

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y² = BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 625

Suy ra: y = √ 625 = 25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x. y = 15.20 ⇒ x = = 12

Bài 5 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a. Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH

b. Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH

Bài giải:

a. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: AH² = BH. CH

⇒ CH =

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB² = BH. BC ⇒ AB = ≈ 29,68

AC² = HC. BC ⇒ AC = ≈ 18,99

b. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB² = BH. BC ⇒ BC = = 24

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC² = HC. BC ⇒ AC = ≈ 20,78

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH² = HB. BC ⇒ AH =

Bài 6 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.

Bài giải:

Giả sử tam giác ABC có:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC =

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH. BC = AB. AC ⇒ AH =

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB² = BH. BC ⇒ BH =

CH = BC – BH =

Bài 7 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Bài giải:

Giả sử tam giác ABC có góc BAC = 90^o, AH ⊥ BC, BH = 3, CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB² = BH. BC = 3. (3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = √ 21

AC² = CH. BC = 4. (3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = √ 28 = 2√ 7

Bài 8 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

Bài giải:

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = 90^o

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm) (1)

AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: BC² = AB² + AC² (3)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

(AB + 1)² = AB² + AC²

⇔ AB² + 2AB + 1 = AB² + 5²

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Bài giải:

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = 90^o, AH ⊥ BC, BC = 5, AH = 2 và BH < CH

Ta có: BH + CH = 5 (1)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:

BH. CH = AH² = 2² = 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BH = 1 và CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB² = BH. BC = 1.5 = 5

Suy ra: AB = √ 5

Bài 10 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3: 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bài giải:

Bài 11 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng

Bài giải:

Bài 12 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đấy 230 km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200 km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370 km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R.

Bài giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

OA² = AH² + OH²

Suy ra: OH² = OA² – AH²

Suy ra:

OH = ≈ 6508 (km)

Vì OH > R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Bài 13 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

Bài giải:

a.

*Cách dựng (hình a):

- Dựng góc vuông xOy.

- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

- Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

- Nối AB, ta có đoạn AB = cần dựng

* Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB² = OA² + OB² = a² + b²

Suy ra: AB =

b.

* Cách dựng (hình b):

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

- Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.

Ta có đoạn OB = (a > b) cần dựng.

* Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB² = OA² + OB² ⇒ OB² = AB² – OA² = a² – b²

Suy ra: OB =

Bài 14 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng √ (ab) như thế nào?

Bài giải:

*Cách dựng:

- Dựng đường thẳng t.

- Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

- Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

- Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D

Ta có đoạn BD = √ (ab) cần dựng.

*Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có Δ ACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

BD² = AB. BC = a. b

Suy ra: BD = √ (ab)

Bài 15 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Bài giải:

Kẻ BH ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.

Ta có: BC = DH và BH = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4 (cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB² = BH² + AH²

Suy ra: AB = ≈ 10,8 (m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.

Bài 16 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5,12,13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.

Bài giải:

Ta có: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lí Pi-ta-go (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông.

Bài 17 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn m. Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Bài giải:

Suy ra: AB² = 9.4 = 36 ⇒ AB = √ 36 = 6 (m)

BC² = 16.4 = 64 ⇒ BC = √ 64 = 8 (m)

Vậy: AB = CD = 6m

BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Bài giải:

Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

Bài 19 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Bài giải:

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB² = AM. AN

Suy ra: AN = = 12 (cm)

Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB²

Bài giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

BM² = BD² + DM² => BD² = BM² – DM² (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

CM² = CE² + EN² => CE² = CM² – EM² (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

AM² = AF² + FM² => AF² = AM² – FM² (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

BD² + CE² + AF² = BM² – DM² + CM² – EM² + AM² – FM² (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

BM² = BF² + FM² (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

CM² = CD² + DM² (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

AM² = AE² + EM² (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

BD² + CE² + AF²

= BF² + FM² – DM² + CD² + DM² – EM² + AE² + EM² – FM²

= DC² + EA² + FB²

Vậy BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB².

Bài 1 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB: AC = 3: 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng

A. 6cm;

B. 9cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Bài giải:

Đáp án đúng là C. 12cm

Giải thích:

Δ ABC ∼ Δ HAC nên

Suy ra HC = 4/3HA = 12.

Bài 2 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB: AC = 4: 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng

A. 6cm;

B. 9,6cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn phương án đúng.

*Trong các bài (1.3,1.4,1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Bài giải:

Đáp án đúng là B. 9,6cm

Giải thích:

Δ ABC ∼ Δ HBA nên

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6.

Bài 3 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Tính h, b, c nếu biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.

Bài giải:

a) h² = b’c’ kéo theo h = 48; a = b’ + c’ = 100 từ b² = ab’ suy ra b = 60, từ c² = ac’ suy ra c = 80.

b) c’ = c²/a = 4, b’ = a – c’ = 5, b² = ab’ = 45 nên b = 3√ 5; h² = b’c’ = 20, nên h = 2√ 5.

Bài 4 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.

Bài giải:

Từ b² = ab’, c² = ac’ suy ra b’ = b²/a, c’ = c²/a.

Bài 5 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng:

Bài giải:

a) Hai cách:

Cách 1: Dùng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: Dùng tam giác đồng dạng:

Bài 6 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6: 5.

Bài giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với AB > AC, gọi AH là đường cao kẻ từ A thì ta có:

Bài 7 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.

Bài giải:

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Vì 13² = 5² + 12² nên Δ ABC là tam giác vuông tại A. Gọi AH là đường cao kẻ từ A thì

Bài 8 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB: HC = 1: 3.

Bài giải:

AH² = HB. HC = 12² = 144 nên HC = 3HB nên HB² = 12²/3 = 48, suy ra HB = 4√ 3, HC = 12√ 3 và BC = HB + HC = 16√ 3 (cm).

Bài 9 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) Δ HCD ∼ Δ ABM.

b) AH = 2HD.

Bài giải:

a) Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn tại C) mà

Δ DCM ∼ Δ ABM (vì là hai tam giác vuông có ∠ (DMC) = ∠ (AMB), vậy Δ HCD ∼ Δ ABM. Khẳng định a) là đúng.

b) Theo câu a), từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC (h là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D) nên HC = 2HD < MC = AM < AH (do M nằm giữa A và H), vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b) là sai.

Bài 10 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Bài giải:

Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy KB = AB – DC = 6 - 8/3 = 10/3.

Tam giác vuông ABD có DB² = AB² + AD² = 6² + 4² = 52, từ đó DB = √ 52 = 2√ 13 (cm).

Bài trước: Ôn tập chương 2 - trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1 Bài tiếp: Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 1