Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1)

Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Bài 25 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A (2; 1)

b. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B (1; -2)

c. Vẽ đồ thị của các hàm số với hệ số góc tìm được ở câu a, b trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

Bài giải:

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax

a. Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A (2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 1 = a. 2 ⇔ a = 1/2

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A (2; 1) là a = 1/2

b. Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B (1; -2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: -2 = a. 1 ⇔ a = -2

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B (1; -2) là a = -2

c. Với a = 1/2 ta có hàm sô: y = 1/2. x

Với a = -2 ta có hàm số: y = -2x

* Vẽ đồ thị hàm số y = 1/2. x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 2 thì y = 1. Ta có: A (2; 1)

Đồ thị hàm số y = 1/2. x đi qua O và A

* Vẽ đồ thị hàm số y = -2x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 1 thì y = -2. Ta có: B (1; -2)

Đồ thị hàm số y = -2x đi qua O và B.

* Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên Ox và Oy.

Ta có hai tam giác AA’O và BB’O có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau.

Vậy OA ⊥ OB hay hai đường thẳng y = 1/2. x và y = -2x vuông góc với nhau.

Bài 26 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng:

y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’)

Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = -1

Bài giải:

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’)

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì a. a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = a’x là góc tù (vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau 900).

Suy ra: a’ < 0

Mà đường thẳng y = ax đi qua A (1; a), đường thẳng y = a’x đi qua B (1; a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau. Suy ra: góc (AOB) = 90^o

Tam giác vuông AOB có OH ⊥ AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OH2 = HA. HB

Hay: a. |a’| = 1 ⇔ a. (-a’) = 1 ⇔ a. a’ = -1

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a. a’ = -1

*Chứng minh a. a’ = -1 thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có: a. a’ = -1 ⇔ a. |a’| = 1 hay HA. HB = OH²

Suy ra OA ⊥ OB hay hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau hay (d) ⊥ (d’)

Bài 27 trang 68 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số:

y = x (1)

y = 0,5x (2)

b. Đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt trục tung Oy tại điểm C có tung độ bằng 2, theo thứ tự cắt các đường thẳng (1) và (2) tại D và E. Tìm tọa độ của các điểm D, E. Tính chu vi và diện tích tam giác ODE.

Bài giải:

a.

* Vẽ đồ thị hàm số y = x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 1 thì y = 1. Ta có: A (1; 1)

Đồ thị hàm số y = x đi qua O và A.

* Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 2 thì y = 1. Ta có: B (2; 1)

Đồ thị hàm số y = 0,5x đi qua O và B.

b. Qua điểm C trên trục tung có tung độ bằng 2, kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị hàm số y = x tại D, cắt đồ thị hàm số y = 0,5x tại E.

Điểm D có tung độ bằng 2.

Thay giá trị y = 2 vào hàm số y = x ta được x = 2.

Vậy điểm D (2; 2)

Điểm E có tung độ bằng 2.

Thay giá trị y = 2 vào hàm số y = 0,5x ta được x = 4

Vậy điểm E (4; 2)

Gọi D’ và E’ lần lượt là hình chiếu của D và E trên Ox.

Ta có: OD’ = 2, OE’ = 4

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ODD’, ta có:

OD² = OD’² + DD’² = 2² + 2² = 8

Suy ra: OD = √ 8 = 2√ 2

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OEE’, ta có:

OE² = OE’² + EE’²= 4² + 2² = 20

Suy ra: OE = √ 20 = 2√ 5

Lại có: DE = CE – CD = 4 – 2 = 2

Chu vi tam giác ODE bằng: OD + DE + EO = 2√ 2 + 2 + 2√ 5

= 2 (√ 2 + 1 + √ 5)

Diện tích tam giác ODE bằng: 1/2. DE. OC = 1/2.2.2 = 2

Bài 28 trang 68 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm sô:

y = -2x (1)

y = 0,5x (2)

b. Qua điểm K (0; 2) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox. Đường thẳng (d) cắt các đường thẳng (1) và (2) lần lượt tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B.

c. Hãy chứng tỏ rằng góc (AOB) = 90^o (hai đường thẳng y = -2x và y = 0,5x vuông góc với nhau).

Bài giải:

a.

* Vẽ đồ thị hàm số y = -2x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 1 thì y = -2. Ta có: M (1; -2)

Đồ thị hàm số y = -2x đi qua O và M

* Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O (0; 0)

Cho x = 2 thì y = 1. Ta có: N (2; 1)

Đồ thị hàm số y = 0,5x đi qua O và N.

b. Đường thẳng (d) song song với trục Ox và đi qua điểm K (0; 2) nên nó là đường thẳng y = 2.

Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (1) tại A nên điểm A có tung độ bằng 2.

Thay y = 2 vào phương trình y = -2x ta được x = -1.

Vậy điểm A (-1; 2)

Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (2) tại B nên điểm B có tung độ bằng 2.

Thay y = 2 vào phương trình y = 0,5x ta được x = 4.

Vậy điểm B (4; 2).

c. Xét hai tam giác vuông OAK và BOK, ta có:

Bài 29 trang 68 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số y = mx + (2m + 1) (1)

Với mỗi giá trị của m ∈ R, ta có một đường thẳng xác định bởi (1). Như vậy, ta có một họ đường thẳng các định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm đó.

Bài giải:

Chứng minh họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó.

Giả sử điểm A (x_o; y_o) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi m. Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1).

Với mọi m, ta có: y_o = mx_o + (2m + 1) ⇔ (x_o + 2)m + (1 – y) = 0

Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m nên tất cả các hệ số phải bằng 0.

Suy ra: x_o + 2 = 0 ⇔ x_o = -2

1 – y_o = 0 ⇔ y_o = 1

Vậy A (-2; 1) là điểm cố định mà họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) luôn đi qua với mọi giá trị m.

Bài 1 trang 68 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Hệ số góc của đường thẳng là:

A. 3;

B. -5;

C. 3/2;

D. (-5)/2.

b) Hệ số góc của đường thẳng là:

A. 3;

B. 3/5;

C. -√ 3;

D. (-√ 3)/5.

Bài giải:

a) Đáp án đúng là: C.

b) Đáp án đúng là: D.

Bài 2 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M (√ 3, √ 3/2)

A. √ 3;

B. √ 3/2;

C. 1/2;

D. 3/2.

b) Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm P (1; √ 3 + √ 2) và Q (√ 3; 3 + √ 2) là:

A. -√ 3;

B. (√ 3 – 1);

C. (1 - √ 3);

D. √ 3
Bài giải:

a) Đáp án đúng là: C.

b) Đáp án đúng là: D.

Bài 3 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Góc hợp bởi đường thẳng và trục Ox là:

A. 26^o34’;

B. 30^o;

C. 60^o;

D. 30^o58’.

b) Góc hợp bởi đường thẳng và trục Ox là:

A. 54^o28’;

B. 81^o52’;

C. 21^o48’;

D. 63^o26’.

(Chú ý: Dùng máy tính bỏ túi tính góc chính xác đến phút).

Bài giải:

a) Đáp án đúng là A. 26^o34’

b) Đáp án đúng là C. 21^o48’

Bài 4 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ nguyên như sau:

A (4; 5); B (1; -1); C (4; -4); D (7; -1).

a) Viết phương trình của các đường thẳng AB, BC, CD và DA.

b) Tính (theo độ, phút) các góc của tứ giác ABCD bằng máy tính bỏ túi.

Bài giải:

a) Phương trình của đường thẳng AB có dạng: y = ax + b.

Do phương trình đi qua A (4; 5) và B (1; -1) nên ta có:

5 = a. 4 + b (1)

-1 = a. 1 + b (2)

Trừ từng vế của (1) và (2), ta có: 6 = 3a ⇒ a = 2.

Thay a = 2 và (1) để tìm b, ta có 5 = 2.4 + b ⇒ b = -3.

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – 3.

Làm tương tự như trên, ta có:

Phương trình đường thẳng BC là: y = -x.

Phương trình đường thẳng CD là: y = x – 8.

Phương trình đường thẳng DA là: y = -2x + 13.

b) Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I.

- Đường thẳng AB có hệ số góc bằng 2, do đó ta có

tgα = 2 ⇒ α = 63^o26’ (tính trên máy tính bỏ túi).

Suy ra ∠ (ABD) ≈ 63^o26’.

Tam giác ABD cân, nên cũng có ∠ (ADB) ≈ 63^o26’.

Từ đó suy ra ∠ (BAD) = 180^o - 2.63^o26’ ≈ 53^o8’.

Đường thẳng BC có hệ số góc bằng -1 nên BC là phân giác của góc vuông phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng CD có hệ số góc bằng 1, do đó CD song song với đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Từ đó suy ra: ∠ (BCD) = 180^o - 45^o - 45^o = 90^o.

Và do đó: ∠ (ABC) = ∠ (ADC) = (360^o - ∠ (BCD) - ∠ (BAD)): 2 ≈ 108^o26’.

Bài trước: Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau - trang 65 Sách bài tập Toán 9 Tập 1 Bài tiếp: Ôn tập chương 2 - trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1