Bài 3: Góc nội tiếp - trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2
Bài 3: Góc nội tiếp
Bài 15 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính 1,5cm. Hãy vẽ hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Nêu cách vẽ
Bài giải:
* Cách vẽ:
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính 1,5cm
- Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau
- Nối AB, BC, CD, DA lại với nhau ta được hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; 1,5)
* Chứng minh:
Ta có: OA = OC, OB =OD
Suy ra ABCD là hình bình hành
Mặt khác: AC = BD và ⊥ BD
Suy ra ABCD là hình vuông
Bài 16 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng:
Bài 17 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt đường tròng (O) ở E. Chứng minh rằng: AB2= AD. AE
Bài giải:
Bài 18 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA. MB không đổi.
Bài giải:
* Trường hợp M nằm bên trong đường tròn (O) (hình a)
Kẻ cát tuyến AB đi qua M và đường thẳng MO cắt đường trong tại C và D
Xét hai tam giác MBD và MCA ta có:
Ta có điểm M và O cố định, suy ra điểm C và D cố định. Do vậy độ dài các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC. MD không đổi
Do tích MC. MD không đổi nên kết hợp với (*) suy ra tích MA. MB cũng không đổi khi cát tuyến AB thay đổi
* Trường hợp M nằm bên ngoài đường tròn (O) (hình b)
Kẻ cát tuyến MAB bất kì của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D
Xét hai tam giác MCB và MAD ta có:
Ta có điểm M và O cố định, suy ra điểm C và D cố định. Do vậy độ dài các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC. MD không đổi
Do tích MC. MD không đổi nên kết hợp với (**) suy ra tích MA. MB cũng không đổi khi cát tuyến AB thay đổi
Bài 19 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray hướng này sang mộtđường ray hướng khác người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hìnhvòng cung (hình bên). Biết chiều rộng của đường ray là AB ≈1,1m, đoạn BC ≈ 28,4m. Hãy tính bán kính OA= R của đoạn đường ray hình vòng cung.
Bài giải:
Xem đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung.
Điểm B cố định nằm trong đường tròn có cung là AC. Đường thẳng OB cắt đường tròn đó tại hai điểm A và A’
Ta có: A và A’ cố định
Vì B là tiếp điểm cung nhỏ trong nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB)
Suy ra: BC ⊥ OB
Kéo dài BC cắt đường tròn (O; OA) tại C’
Suy ra: BC = BC’ (đường kính vuông góc với dây cung)
Xét hai tam giác BAC và BC’A’ ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)Suy ra Δ BAC đồng dạng Δ BC’A’
⇔ BC'/AB =BA'/BC ⇒ BC. BC’ = AB. A’B
Mà BC = BC’ và BA’ = 2R – AB
Nên BC2 = AB (2R –AB)
⇔ (28,4)2=1,1 (2R – 1,1)
⇔ 2,2R =806,56 + 1,21 =807,77
⇔ R = 807,77: 2,2 =367,3 (m)
Vậy bán kính đoạn đường ray hình vòng cung là 367,2m
Bài 20 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB
a. Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?
b. So sánh hai tam giác BDA và BMC
c. Chứng minh rằng MA =MB + MC
Bài giải:
Suy ra: Δ ABD =Δ CBM (c. g. c)
c. Ta có: Δ ABD = Δ CBM (cmt)
Suy ra: AD = CM
Mà AM = AD + DM
Suy ra: MA = MC + MD
Bài 21 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, biết góc A = 32°, góc B = 84°. Lấy các điểm D, E, F thuộc đường tròn (O) sao cho AD = AB, BE = BC, CF = CA. Hãy tính các góc của tam giác DEF.
Bài giải:
Bài 22 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Vẽ một tam giác vuông biết cạnh huyền là 4cm và đường cao ứng với cạnh huyền là 1,5cm.
Bài giải:
* Cách vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm
- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC
- Vẽ đường thẳng xy nằm trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn đường kính BC và xy // BC, cách BC một khoảng bằng 1,5cm
- Vẽ đường thẳng BC cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A và A’. Nối AB, AC, A’B, A’C ta được tam giác ABC cần vẽ
* Chứng minh:
Vì xy cách BC một khoảng bằng 1,5cm nhỏ hơn BC/2 = 2cm nên xy cắt nửa đường tròn đường kính BC
Ta lại có Δ ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính BC nên góc (BAC) = 90°
Mặt khác AH ⊥ BC và AH =1,5cm.
Bài 23 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác của hai góc B và C cắt nhau ở E và cắt đường tròn lần lượt tại F và D. Chứng minh rằng tứ giác EDAF là một hình thoi.
Bài giải:
Bài 1 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Mỗi câu sau đây đúng hay sai
(A) Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây của đường tròn đó.
(B) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
(C) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung thì không bằng nhau.
(D) Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn.
(E) Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Bài giải:Đáp án đúng là (E). Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Bài 2 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Đường tròn tâm A bán kính AO cắt nửa đường tròn đã cho tại C. Đường tròn tâm B bán kính BO cắt nửa đường tròn đã cho tại D.
Đường thẳng qua O và song song với AD cắt nửa đường tròn đã cho tại E.
a) góc ADC và góc ABC có bằng nhau không? Vì sao?
b) Chứng minh CD song song với AB.
c) Chứng minh AD vuông góc với OC
d) Tính số đo của góc DAO.
e) So sánh hai cung BE và CD.
Bài giải:
a) Trong đường tròn (O) ta có:
góc ADC = góc ABC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC
b) Δ ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên Δ ABC vuông tại C
CO = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)
AC = AO (bán kính đường tròn (A))
Suy ra: AC = AO = OC
Δ ACO đều góc AOC = 60o
Δ ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên Δ ADB vuông tại D
DO = OB = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)
BD = BO (bán kính đường tròn (B))
Suy ra: BO = OD = BD
Δ BOD đều
