Ôn tập chương 2 - trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Ôn tập chương II

Bài 30 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a. Với những giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến?

b. Với những giá trị nào của k thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến?

Bài giải:

a. Hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến khi hệ số a > 0

Ta có: m + 6 > 0 ⇔ m > -6

Vậy với m > -6 thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến

b. Hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến khi hệ số a < 0

Ta có: -k + 9 < 0 ⇔ k > 9

Vậy với k > 9 thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến.

Bài 31 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số: y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Bài giải:

Hai đường thẳng y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nghĩa là chúng có cùng tung độ gốc.

Suy ra: 5 – m = 3 + m ⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Bài 32 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm giá trị của a để hai đường thẳng:

y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.

Bài giải:

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ gốc khác nhau do vậy chúng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số a bằng nhau.

Ta có: a – 1 = 3 – a ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.

Bài 33 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau trùng nhau?

y = kx + (m – 2)

y = (5 – k)x + (4 – m)

Bài giải:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi

k = 5 – k và m – 2 = 4 – m

Ta có: k = 5 – k ⇔ 2k = 5 ⇔ k = 2,5

m – 2 = 4 – m ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau.

Bài 34 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)

a. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ?

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Một góc tù?

c. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2

d. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 1/2

Bài giải:

a. Đồ thị hàm số bậc nhất y = (1 – 4m)x + m – 2 đi qua gốc tọa độ khi:

1 – 4m ≠ 0 và m – 2 = 0

Ta có:

+) 1 – 4m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1/4

+) m – 2 = 0 ⇔ m = 2

Vậy với m = 2 thì (d) đi qua gốc tọa độ.

b. Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn khi hệ số góc của đường thẳng là số dương.

Ta có: 1 – 4m > 0 ⇔ m < 1/4

Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù khi hệ số góc của đường thẳng là số âm.

Ta có: 1 – 4m < 0 ⇔ m > 1/4

Vậy với m < 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn, với m > 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

- Vẽ đồ thị hàm số y = - (x + 1)

Cho x = 0 thì y = -1. Ta có: (0; -1)

Cho y = 0 thì x = -1. Ta có: (-1; 0)

Đồ thị hàm số y = - (x + 1) đi qua hai điểm (0; -1) và (-1; 0)

c. Ta có: y = x và y = x + 1 song song với nhau.

y = -x và y = - (x + 1) song song với nhau.

Suy ra chỉ có đồ thị hàm số y = -x và y = x + 1 cắt nhau.

Phương trình hoành độ giao điểm:

-x = x + 1 ⇔ 2x = -1 ⇔ x = - 1/2

Suy ra phương trình |x| = |x + 1| có một nghiệm duy nhất.

Tung độ giao điểm: y = -x ⇒ y = 1/2

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng y = |x| và y = |x + 1| là: I (- 1/2; 1/2)

Bài 35 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2). (d)

Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2), B (3; -4);

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √ 2.

c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 1/2x - 3/2;

d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (-3)/2x + 1/2;

e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3.

Bài giải:

a) Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

2 = (m – 2)(-1) + n (1)

và -4 = (m – 2).3 + n (2)

Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được

-m + n = 0; (1’)

3m + n = 2. (2’)

Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.

Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √ 2 nên ta có n = 1 - √ 2.

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + √ 2 nên ta có:

Trả lời: Khi n = 1 - √ 2 và thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √ 2.

c) Ta có: y = 0,5x – 1,5. (d₁)

Đường thẳng (d) và (d₁) khi m – 2 ≠ 0,5, còn n lấy giá trị tùy ý. Suy ra (d) cắt (d₁) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.

Trả lời: (d) cắt (d₂) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.

d) Ta có: y = -1,5x + 0,5. (d₂)

Đường thẳng (d): y = (m – 2)x + n song song với (d₂) khi:

m – 2 = -1,5 và n ≠ 0,5

hay m = 0,5 và n ≠ 0,5.

Trả lời: (d) song song với (d₂) khi m = 0,5 và n ≠ 0,5.

e) Ta có: y = 2x – 3 (d₃)

Đường thẳng (d) trùng với (d₃) khi m – 2 = 2 và n = -3

Hay m = 4 và n = -3.

Trả lời: Khi m = 4 và n = -3 thì hai đường thẳng (d) và (d₃) trùng nhau.

Bài 36 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 3x + 6; (1) y = 2x + 4 (2)

y = x + 2; (3) y = 1/2x + 1. (4)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1), (2), (3), (4) với trục là A và với trục tung lần lượt là B₁, B₂, B₃, B₄ ta có (B₁ Ax) = α₁; ∠ (B₂ Ax) = α₂; ∠ (B₃ Ax) = α₃; ∠ (B₄ Ax) = α₄. Tính các góc α₁, α₂, α₃, α₄.

(Hướng dẫn: Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 hoặc CASIO fx – 500A hoặc CASIO fx – 500MS… Tính tgα₁, tgα₂, tgα₃, tgα₄ rồi tính ra các góc tương ứng).

c) Có nhận xét gì về độ dốc của các đường thẳng (1), (2), (3) và (4)?

Bài giải:

a)

- Đồ thị của hàm số y = 3x + 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B₁(0; 6).

- Đồ thị của hàm số y = 2x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B₂(0; 4).

- Đồ thị của hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B₃(0; 2).

- Đồ thị của hàm số y = 1/2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B₄(0; 1).

b) Gọi ∠ (B₁Ax) = α₁, ∠ (B₂Ax) = α₂, ∠ (B₃ Ax) = α₃, ∠ (B₄ Ax) = α₄. Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 tính tgα₁, tgα₂, tgα₃, tgα₄ và suy ra các góc tương ứng.

Ta có:

tgα₁ = 3 ⇒ α₁ ≈ 71^o33’54,18’’.

tgα₂ = 2 ⇒ α₂ ≈ 63^o26’5,82’’.

tgα₃ = 1 ⇒ α₃ ≈ 45^o.

tgα₄ = 1/2 ⇒ α₄ ≈ 26^o33’54,18’’.

c) Từ sự tăng dần của các hệ số góc: 1/2 < 1 < 2 < 3 và sự tăng dần của các góc α:

26^o33’ < 45^o < 63^o26’ < 71^o33’,

Rút ra nhận xét:

Với a > 0, khi a càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và tia Ox càng lớn, và do đó độ dốc của đường thẳng (so với trục nằm ngang Ox càng lớn).

Bài 37 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Cho các điểm M (-1; -2), N (-2; -4), P (2; -3), Q (3; -4,5). Tìm tọa độ của các điểm M’, N’, P’, Q’ lần lượt đối xứng với các điểm M, N, P, Q qua trục Ox.

b) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:

y = |x|;

y = |x + 1|.

c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số y = |x| và y = |x + 1|.

Từ đó, suy ra phương trình |x| = |x + 1| có nghiệm duy nhất.

Bài giải:

a) (h. 25)

Gọi M’, N’, P’, Q’ là các điểm lần lượt đối xứng qua các điểm M, N, P, Q qua trục Ox, ta thấy rằng hoành độ của các điểm đối xứng nhau qua trục hoành bằng nhau, còn tung độ của các điểm đó thì đối nhau: M’ (-1; 2); N’ (-2; 4); P’ (2; 3); Q’ (3; 4,5).

b) (h. 26)

Ta vẽ đồ thị y = x với x ≥ 0.

Vẽ đồ thị y = -x với x ≤ 0.

Ta vẽ đồ thị y = x + 1 với x ≥ -1

Vẽ đồ thị y = -x – 1 với x ≤ -1.

c) (h. 26) Đồ thị y = -x cắt đồ thị y = x + 1 tại điểm M (x_o, y_o). Vì M thuộc cả hai đồ thị nên tọa độ của M phải thỏa mãn các hàm số, nghĩa là:

Đồ thị y = |x| và đồ thị y = |x + 1| chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất M ((-1)/2; 1/2).

Suy ra phương trình |x| = |x + 1| chỉ có nghiệm duy nhất x = (-1)/2.

Bài 38 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho các hàm số:

y = 2x – 2 (d₁)

y = - (4/3).x – 2 (d₂)

y = (1/3).x + 3 (d₃)

a. Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d₃) với (d₁) và (d₂) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của A, B.

c. Tính khoảng cách AB.

Bài giải:

a.

* Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2 (d₁)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì 2x – 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1. Ta có: (1; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (1; 0)

* Vẽ đồ thị hàm số y = - (4/3).x – 2 (d₂)

Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)

Cho y = 0 thì - (4/3).x – 2 = 0 ⇔ x = -1,5. Ta có: (-1,5; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (-1,5; 0)

* Vẽ đồ thị hàm số y = (1/3).x + 3 (d₃)

Cho x = 0 thì y = 3. Ta có: (0; 3)

Cho y = 0 thì (1/3).x + 3 = 0 ⇔ x = -9. Ta có: (-9; 0)

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 3) và (-9; 0)

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d₃):

2x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ 2x - (1/3).x = 3 + 2 ⇔ (5/3).x = 5 ⇔ x = 3

Tung độ giao điểm: y = 2.3 – 2 ⇔ y = 6 – 2 = 4

Vậy tọa độ điểm A là A (3; 4)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₃):

- (4/3).x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ (1/3).x + (4/3).x = -2 – 3 ⇔ (5/3).x = -5 ⇔ x = -3

Tung độ giao điểm: y = (1/3). (-3) + 3 ⇔ y = -1 + 3 = 2

Vậy tọa độ điểm B là B (-3; 2)

c. Ta có: AB² = (x_A – x_B)² + (y_A – y_B)² = (3 + 3)² + (4 – 2)² = 40

AB = √ 40 = 2√ 10.

Bài trước: Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1) Bài tiếp: Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1