Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai - trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 45 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. (x+2)2 -3x -5 = (1 –x)(1 +x)
b. (x -1)3 +2x=x3– x2 – 2x +1
c. x (x2 -6) – (x – 2)2 = (x +1)3
d. (x +5)2 + (x -2)2 + (x +7)(x -7) = 12x -23
Bài giải:a) Ta có: (x+2)2 - 3x - 5 = (1 –x)(1 +x)
⇔ x2 + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 – x2
⇔ 2x2 + x - 2 = 0
Δ = 12 - 4.2. (-2) = 1 + 16 = 17 > 0
√ Δ = √ 17
b) Ta có: (x -1)3 + 2x = x3 – x2 – 2x + 1
⇔ x3 – 3x2 + 3x - 1 + 2x = x3 – x2 - 2x + 1
⇔ 2x2 – 7x + 2 = 0
Δ = (-7)2 - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0
√ Δ = √ 33
c) Ta có: x (x2 -6) – (x – 2)2 = (x +1)3
⇔ x3 – 6x – x2 + 4x - 4 = x3 + 3x2 + 3x + 1
⇔ 4x2 + 5x + 5 = 0
Δ = 52 - 4.4.5 = 25 - 80 = -55 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
d) Ta có: (x +5)2 + (x -2)2 + (x +7)(x -7) = 12x -23
⇔ x2 + 10x + 25 + x2 - 4x + 4 + x2 - 49 = 12x -23
⇔ x2 + 10x + 25 + x2 - 4x +4 + x2 - 49 - 12x + 23 = 0
⇔ 3x2 - 6x + 3 =0
⇔ x2 - 2x +1 =0
Δ ’ = (-1)2 - 1.1 = 1 - 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: x1 = x2 = 1
Bài 46 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
Bài giải:
a. Điều kiện: x ≠ ± 1
Ta có: 
⇔ 12x + 12 - 8x + 8 = x2 - 1
⇔ x2 - 4x - 21 = 0
Δ ’ = (-2)2 -1. (-21) = 4 + 21 = 25 > 0
√ Δ ' =√ 25 = 5
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x =7 và x =-3
b. Điều kiện: x ≠ 3 và x ≠ 1
Ta có: 
⇔ 16 – 16x +30x -90 =3x -3x2 -9 +9x
⇔ 3x2 + 2x - 65 = 0
Δ ’ = 12 - 3. (-65) = 1 + 195=196 > 0
√ Δ ' =√ 196 = 14
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x = 133 và x = -3
c. Điều kiện: x≠ 3 và x ≠ -2
Ta có:
Phương trình x2 -4x +3 = 0 có a = 1, b = -4, c = 3
Suy ra: a + b + c = 0
Ta có nghiệm x1 =1, x2 =3 (loại)
Vậy nghiệm của phương trình là x =1
d. Điều kiện: x≠ 2 và x ≠ -4
Ta có:
⇔ 2x2 +8x –x2 +2x =8x +8
⇔ x2 +2x -8 =0
Δ ’ = 12 -1 (-8) = 1 +8=9 > 0
√ Δ ' =√ 9 =3
Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
e. Điều kiện: x≠ 1
Ta có:
⇔ x3+7x2 +6x -30 = (x2 –x +16)(x -1)
⇔ x3+7x2 +6x -30 = x3 – x2 – x2 +x +16x -16
⇔ 9x2 -11x -14 =0
Δ = (-11)2 -4.9. (-14) =121 +504 =625 > 0
√ Δ =√ 625 = 25
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x = -79 và x = 2
f. Điều kiện: x≠ ± 1
Ta có:
⇔ x2 + 9x - 1 = 17x - 17 ⇔ x2 - 8x + 16 = 0
Δ ’ = (-4)2 – 1.16=16 -16 =0
Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 4
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4
Bài 47 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a. 3x3 +6x2 -4x =0
b. (x +1)3 –x +1 = (x -1)(x -2)
c. (x2 +x +1)2 = (4x -1)2
d. (x2 +3x + 2)2 = 6. (x2 +3x +2)
e. (2x2 +3)2 -10x3 -15x =0
f. x3 – 5x2 –x +5 =0
Bài giải:a) Ta có: 3x3 + 6x2 - 4x =0 ⇔ x (3x2 + 6x - 4) = 0
⇔ x = 0 hoặc 3x2 + 6x - 4 = 0
Giải phương trình 3x2 + 6x - 4 = 0
Δ ’ = 32 -3 (-4) =9 +12 =21 > 0
√ Δ ' =√ 21
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
b) Ta có: (x +1)3 –x +1 = (x -1)(x -2)
⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 – x + 1 = x2 - 2x – x + 2
⇔ x3 + 2x2 + 5x = 0 ⇔ x (x2 + 2x + 5) = 0
⇔ x = 0 hoặc x2 + 2x + 5 = 0
Giải phương trình x2 + 2x + 5 = 0
Δ ’ = 12 -1.5 = 1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=0
c) Ta có: (x2 +x +1)2 = (4x -1)2
⇔ [(x2 +x +1) + (4x -1)] [(x2 +x +1) - (4x -1)]=0
⇔ (x2 +5x)(x2 -3x +2) =0 ⇔ x (x+5) (x2 -3x +2) =0
⇔ x =0 hoặc x+5 =0 hoặc x2 -3x +2 =0
x+5 =0 ⇔ x=-5
x2 -3x +2 =0
Δ = (-3)2 -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0
√ Δ =√ 1 =1
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 =0; x2 =-5; x3 =2; x4 =1
d) (x2 +3x + 2)2 = 6. (x2 +3x +2)
⇔ (x2 +3x + 2)2 - 6. (x2 +3x +2)=0
⇔ (x2 +3x + 2)[ (x2 +3x + 2) -6] =0
⇔ (x2 +3x + 2). (x2 +3x -4)=0
x2 +3x + 2 =0
Phương trình có dạng a –b +c =0 nên x1 = -1, x2 =-2
x2 +3x -4 =0
Phương trình có dạng a +b +c =0 nên x1 = 1, x2=-4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 = -1, x2 =-2; x3 = 1, x4 =-4
e) Ta có: (2x2 +3)2 -10x3 -15x = 0 ⇔ (2x2 +3)2 - 5x (2x2 +3)=0
⇔ (2x2 +3)( 2x2 +3 - 5x) = 0 ⇔ (2x2 +3)( 2x2 - 5x +3)=0
Vì 2x2 ≥ 0 nên 2x2 +3 > 0
Suy ra: 2x2 - 5x +3=0
Δ = (-5)2 -4.2.3 =25 -24=1 > 0
√ Δ =√ 1 =1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 3/2; x2 = 1
f) Ta có: x3 – 5x2 –x +5 =0 ⇔ x2( x -5) – (x -5) =0
⇔ (x -5)(x2 -1) =0 ⇔ (x -5)(x -1)(x +1) =0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 5; x2 =1; x3=-1
Bài 48 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương
a. x4 - 8x2 – 9 =0
b. y4 – 1,16y2 + 0,16 =0
c. z4 -7z2 - 144 =0
d. 36t4 – 13t2 +1 =0
a. Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 - 8x2 – 9 = 0 ⇔ m2 - 8m - 9 = 0
Phương trình: m2 - 8m - 9 = 0 có hệ số a = 1, b = -8, c = -9 nên có dạng a – b + c = 0
Suy ra: m1 = -1 (loại), m2 = -9/1 =9
Ta có: x2 =9 ⇒ x=± 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 =3; x2 =-3
b. Đặt m = y2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: y4 – 1,16y2 + 0,16 =0 ⇔ m2 -1,16m + 0,16 =0
Phương trình: m2 -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0
Suy ra: m1 = 1, m2 = 0,16
Ta có: y2 =1 ⇒ y = ± 1
y2 =0,16 ⇒ y = ± 0,4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: y1 =1; y2 =-1; y3 =0,4; y4 =-0,4
c. Đặt m = z2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: z4 -7z2 - 144 =0 ⇔ m2 -7m -144 =0
Ta có: Δ = (-7)2 -4.1. (-144) =49 + 576=625 > 0
√ Δ =√ 625 = 25
Ta có: z2 =16 ⇒ z=± 4
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: z1 =4; z2 =-4
d. Đặt m = t2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 36t4 – 13t2 +1 =0 ⇔ 36m2 -13m +1 =0
Ta có: Δ = (-13)2 – 4.36.1=169 -144=25 > 0
√ Δ =√ 25 = 5
Ta có: t2 =1/4 ⇒ t=± 1/2
t2 =1/9 ⇒ t=± 1/3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
t1 = 1/4; t2 =-1/4; t3 =1/3; t4 =-1/3
e. Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 1/3. (x4) - 1/2. ( x2) +16 =0⇔ 2x4 -3x2 +1=0 ⇔ 2m2 -3m + 1 =0
Phương trình 2m2 -3m + 1 =0 có hệ số a=2, b=-3, c=1 nên có dạng a +b+c =0
suy ra: m1 = 1, m2 = 12
Ta có: x2 = 1 ⇒ x = ± 1
x2 = 1/2 ⇒ x = ± √ 2/2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 =1; x2 =-1; x3 = (√ 2)/2; x4 = - √ 2/2
f. Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: √ 3 x4 – (2 -√ 3)x2 -2 =0 ⇔ √ 3m2 - (2 -√ 3)m - 2 =0
Phương trình √ 3m2 - (2 -√ 3)m - 2 =0 có hệ số a=√ 3, b= - (2 -√ 3),c=-2 nên có dạng a - b+c =0
Bài 49 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương ax4+bx2+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau
Bài giải:Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: ax4 + bx2 + c = 0 ⇔ am2 + bm + c = 0
Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là m1 và m2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: m1m2 = c/a
Vì a và c trái dấu nên c/a < 0 suy ra m1m2 < 0 hay m1 và m2 trái dấu nhau
Vì m1 và m2 trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại, giả sử loại m1
Khi đó x2 =m2 => x = ± √ m2
Vậy phương trình trùng phương ax4+bx2+c =0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu
Bài 50 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a. (4x -5)2 – 6 (4x -5) +8 = 0
b. (x2 +3x -1)2 +2 (x2 +3x -1) -8 = 0
c. (2x2 +x -2)2 +10x2 +5x -16 = 0
d. (x2 -3x +4)(x2 -3x +2) = 3
Bài giải:
a) Đặt m = 4x -5
Ta có: (4x -5)2– 6 (4x -5) +8 =0 ⇔ m2 -6m +8 =0
Δ ’ = (-3)2 -1.8 =9 -8=1 > 0
Δ ' =1 =1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 9/4, x2 = 7/4
b) Đặt m = x2 +3x -1
Ta có: (x2 +3x -1)2 +2 (x2 +3x -1) -8 =0 ⇔ m2 +2m -8 =0
Δ ’ = 12 -1. (-8) =1 +8 =9 > 0
√ Δ ' =√ 9 =3
m1 = -1 +31 =2; m2 = -1 -31 =-4
Với m = 2 thì: x2 +3x - 1 = 2 ⇔ x2 + 3x - 3 = 0
Δ ’ = 32 -4.1. (-3)=9 +12=21 > 0
√ Δ =√ 21
Với m = -4 ta có: x2 +3x -1 = -4 ⇔ x2 +3x +3 = 0
Δ = 32 -4.1.3=9 -12 = -3 < 0
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
c) Đặt m = 2x2 +x -2
Ta có: (2x2 +x -2)2+10x2 +5x -16 =0
⇔ (2x2 +x -2)2+5 (2x2 +x -2) -6 =0
⇔ m2 +5m -6 =0
Phương trình m2 +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng
a + b + c = 0
Suy ra: m1 =1, m2 =-6
m1 =1 ta có: 2x2 +x -2 =1 ⇔ 2x2 +x -3=0
Phương trình 2x2 +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1, c = -3 nên có dạng
a +b+c=0
Suy ra: x1 =1, x2 =-3/2
Với m=-6 ta có: 2x2 +x -2 = -6 ⇔ 2x2 +x +4 =0
Δ = 12 -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0. Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 =1, x2 =-32
d) Đặt m= x2 -3x +2
Ta có: (x2 -3x +4)(x2 -3x +2) =3
⇔ [(x2 -3x +2 +2)(x2 -3x +2) -3 =0
⇔ (x2 -3x +2)2 +2 (x2 -3x +2) -3 =0
⇔ m2 +2m -3 =0
Phương trình m2 +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2, c = -3 nên có dạng
a +b+c=0
suy ra: m1 =1, m2 =-3
Với m1 =1 ta có: x2 -3x +2 =1 ⇔ x2 -3x +1=0
Δ = (-3)2 -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0
√ Δ = √ 5
Với m2 =-3 ta có: x2 -3x +2 =-3 ⇔ x2 -3x +5=0
Δ = (-3)2 -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0. Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:
e. Đặt m= x/ (x+1). Điều kiện: x ≠ -1
⇔ 2m2 - 5m + 3 = 0
Phương trình 2m2 -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5, c = 3 nên có dạng
a +b + c = 0
suy ra: m1 = 1, m2 =3/2
Với m1 =1 ta có: x/ (x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)
Với m = 3/2 ta có: x/ (x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3 (x +1)
⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=-3
f. Đặt m = √ (x -1). Điều kiện: x ≥ 0
Ta có: x - √ (x -1)-3 =0 ⇔ (x -1) -√ (x -1) -2 =0
⇔ m2 -m - 2 =0
Phương trình m2 -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1, c = -2 nên có dạng
a – b + c = 0
Suy ra: m1 = -1 (loại), m2 = - (-2)/1 = 2
Với m =2 ta có: √ (x -1) =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5
Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=5
Bài 1 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
Bài 2 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x + 2√ (x - 1) - m2 + 6m - 11 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài giải:
Bài 3 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: (Đề thi học sinh giỏi toán Bulgari - Mùa xuân năm 1997). Tìm giá trị của m để phương trình [x2 - 2mx - 4 (m2 + 1)] [x2 - 4x - 2m (m2 +1)] = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.
