Ôn tập chương 2 - trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1
Ôn tập chương II
Bài 30 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
a. Với những giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến?
b. Với những giá trị nào của k thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến?
Bài giải:a. Hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến khi hệ số a > 0
Ta có: m + 6 > 0 ⇔ m > -6
Vậy với m > -6 thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến
b. Hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến khi hệ số a < 0
Ta có: -k + 9 < 0 ⇔ k > 9
Vậy với k > 9 thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến.
Bài 31 trang 69 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số: y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài giải:Hai đường thẳng y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nghĩa là chúng có cùng tung độ gốc.
Suy ra: 5 – m = 3 + m ⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1
Vậy với m = 1 thì đồ thị của các hàm số y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Bài 32 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm giá trị của a để hai đường thẳng:
y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.
Bài giải:Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ gốc khác nhau do vậy chúng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số a bằng nhau.
Ta có: a – 1 = 3 – a ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2
Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau.
Bài 33 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau trùng nhau?
y = kx + (m – 2)
y = (5 – k)x + (4 – m)
Bài giải:Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi
k = 5 – k và m – 2 = 4 – m
Ta có: k = 5 – k ⇔ 2k = 5 ⇔ k = 2,5
m – 2 = 4 – m ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3
Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau.
Bài 34 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)
a. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ?
b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Một góc tù?
c. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2
d. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 1/2
Bài giải:a. Đồ thị hàm số bậc nhất y = (1 – 4m)x + m – 2 đi qua gốc tọa độ khi:
1 – 4m ≠ 0 và m – 2 = 0
Ta có:
+) 1 – 4m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1/4
+) m – 2 = 0 ⇔ m = 2
Vậy với m = 2 thì (d) đi qua gốc tọa độ.
b. Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn khi hệ số góc của đường thẳng là số dương.
Ta có: 1 – 4m > 0 ⇔ m < 1/4
Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù khi hệ số góc của đường thẳng là số âm.
Ta có: 1 – 4m < 0 ⇔ m > 1/4
Vậy với m < 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn, với m > 1/4 thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.
- Vẽ đồ thị hàm số y = - (x + 1)
Cho x = 0 thì y = -1. Ta có: (0; -1)
Cho y = 0 thì x = -1. Ta có: (-1; 0)
Đồ thị hàm số y = - (x + 1) đi qua hai điểm (0; -1) và (-1; 0)
c. Ta có: y = x và y = x + 1 song song với nhau.
y = -x và y = - (x + 1) song song với nhau.
Suy ra chỉ có đồ thị hàm số y = -x và y = x + 1 cắt nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm:
-x = x + 1 ⇔ 2x = -1 ⇔ x = - 1/2
Suy ra phương trình |x| = |x + 1| có một nghiệm duy nhất.
Tung độ giao điểm: y = -x ⇒ y = 1/2
Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng y = |x| và y = |x + 1| là: I (- 1/2; 1/2)
Bài 35 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2). (d)
Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2), B (3; -4);
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √ 2.
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 1/2x - 3/2;
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (-3)/2x + 1/2;
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3.
Bài giải:a) Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:
2 = (m – 2)(-1) + n (1)
và -4 = (m – 2).3 + n (2)
Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được
-m + n = 0; (1’)
3m + n = 2. (2’)
Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.
Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √ 2 nên ta có n = 1 - √ 2.
Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + √ 2 nên ta có:
Trả lời: Khi n = 1 - √ 2 và
c) Ta có: y = 0,5x – 1,5. (d1)
Đường thẳng (d) và (d1) khi m – 2 ≠ 0,5, còn n lấy giá trị tùy ý. Suy ra (d) cắt (d1) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.
Trả lời: (d) cắt (d2) khi m ≠ 2,5 còn n tùy ý.
d) Ta có: y = -1,5x + 0,5. (d2)
Đường thẳng (d): y = (m – 2)x + n song song với (d2) khi:
m – 2 = -1,5 và n ≠ 0,5
hay m = 0,5 và n ≠ 0,5.
Trả lời: (d) song song với (d2) khi m = 0,5 và n ≠ 0,5.
e) Ta có: y = 2x – 3 (d3)
Đường thẳng (d) trùng với (d3) khi m – 2 = 2 và n = -3
Hay m = 4 và n = -3.
Trả lời: Khi m = 4 và n = -3 thì hai đường thẳng (d) và (d3) trùng nhau.
Bài 36 trang 70 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 3x + 6; (1) y = 2x + 4 (2)
y = x + 2; (3) y = 1/2x + 1. (4)
b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1), (2), (3), (4) với trục là A và với trục tung lần lượt là B1, B2, B3, B4 ta có (B1 Ax) = α1; ∠ (B2 Ax) = α2; ∠ (B3 Ax) = α3; ∠ (B4 Ax) = α4. Tính các góc α1, α2, α3, α4.
(Hướng dẫn: Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 hoặc CASIO fx – 500A hoặc CASIO fx – 500MS… Tính tgα1, tgα2, tgα3, tgα4 rồi tính ra các góc tương ứng).
c) Có nhận xét gì về độ dốc của các đường thẳng (1), (2), (3) và (4)?
Bài giải:a)
- Đồ thị của hàm số y = 3x + 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B1(0; 6).
- Đồ thị của hàm số y = 2x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B2(0; 4).
- Đồ thị của hàm số y = x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B3(0; 2).
- Đồ thị của hàm số y = 1/2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A (-2; 0) và B4(0; 1).
b) Gọi ∠ (B1Ax) = α1, ∠ (B2Ax) = α2, ∠ (B3 Ax) = α3, ∠ (B4 Ax) = α4. Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 tính tgα1, tgα2, tgα3, tgα4 và suy ra các góc tương ứng.
Ta có:
tgα1 = 3 ⇒ α1 ≈ 71o33’54,18’’.
tgα2 = 2 ⇒ α2 ≈ 63o26’5,82’’.
tgα3 = 1 ⇒ α3 ≈ 45o.
tgα4 = 1/2 ⇒ α4 ≈ 26o33’54,18’’.
c) Từ sự tăng dần của các hệ số góc: 1/2 < 1 < 2 < 3 và sự tăng dần của các góc α:
26o33’ < 45o < 63o26’ < 71o33’,
Rút ra nhận xét:
Với a > 0, khi a càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và tia Ox càng lớn, và do đó độ dốc của đường thẳng (so với trục nằm ngang Ox càng lớn).
Bài 37 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
a) Cho các điểm M (-1; -2), N (-2; -4), P (2; -3), Q (3; -4,5). Tìm tọa độ của các điểm M’, N’, P’, Q’ lần lượt đối xứng với các điểm M, N, P, Q qua trục Ox.
b) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
y = |x|;
y = |x + 1|.
c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số y = |x| và y = |x + 1|.
Từ đó, suy ra phương trình |x| = |x + 1| có nghiệm duy nhất.
Bài giải:a) (h. 25)
Gọi M’, N’, P’, Q’ là các điểm lần lượt đối xứng qua các điểm M, N, P, Q qua trục Ox, ta thấy rằng hoành độ của các điểm đối xứng nhau qua trục hoành bằng nhau, còn tung độ của các điểm đó thì đối nhau: M’ (-1; 2); N’ (-2; 4); P’ (2; 3); Q’ (3; 4,5).
b) (h. 26)
Ta vẽ đồ thị y = x với x ≥ 0.
Vẽ đồ thị y = -x với x ≤ 0.
Ta vẽ đồ thị y = x + 1 với x ≥ -1
Vẽ đồ thị y = -x – 1 với x ≤ -1.
c) (h. 26) Đồ thị y = -x cắt đồ thị y = x + 1 tại điểm M (xo, yo). Vì M thuộc cả hai đồ thị nên tọa độ của M phải thỏa mãn các hàm số, nghĩa là:
Đồ thị y = |x| và đồ thị y = |x + 1| chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất M ((-1)/2; 1/2).
Suy ra phương trình |x| = |x + 1| chỉ có nghiệm duy nhất x = (-1)/2.
Bài 38 trang 71 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho các hàm số:
y = 2x – 2 (d1)
y = - (4/3).x – 2 (d2)
y = (1/3).x + 3 (d3)
a. Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d3) với (d1) và (d2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của A, B.
c. Tính khoảng cách AB.
Bài giải:a.
* Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2 (d1)
Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)
Cho y = 0 thì 2x – 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1. Ta có: (1; 0)
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (1; 0)
* Vẽ đồ thị hàm số y = - (4/3).x – 2 (d2)
Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: (0; -2)
Cho y = 0 thì - (4/3).x – 2 = 0 ⇔ x = -1,5. Ta có: (-1,5; 0)
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2) và (-1,5; 0)
* Vẽ đồ thị hàm số y = (1/3).x + 3 (d3)
Cho x = 0 thì y = 3. Ta có: (0; 3)
Cho y = 0 thì (1/3).x + 3 = 0 ⇔ x = -9. Ta có: (-9; 0)
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 3) và (-9; 0)
b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d3):
2x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ 2x - (1/3).x = 3 + 2 ⇔ (5/3).x = 5 ⇔ x = 3
Tung độ giao điểm: y = 2.3 – 2 ⇔ y = 6 – 2 = 4
Vậy tọa độ điểm A là A (3; 4)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (d3):
- (4/3).x – 2 = (1/3).x + 3 ⇔ (1/3).x + (4/3).x = -2 – 3 ⇔ (5/3).x = -5 ⇔ x = -3
Tung độ giao điểm: y = (1/3). (-3) + 3 ⇔ y = -1 + 3 = 2
Vậy tọa độ điểm B là B (-3; 2)
c. Ta có: AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = (3 + 3)2 + (4 – 2)2 = 40
AB = √ 40 = 2√ 10.
Bài trước: Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1) Bài tiếp: Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1