Bài 6: Cung chứa góc - trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 2
Bài 6: Cung chứa góc
Bài 33 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và góc A = α không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong cuả tam giác
Bài giải:* Chứng minh thuận:
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC
Bài 34 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng cung chứa góc 42° trên đoạn thẳng AB = 3cm
Bài giải:Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm
- Vẽ tia Ax sao cho góc (BAx) = 42°
- Dựng đường thẳng d là trung trực của đoạn AB
- Dựng tia Ay sao cho Ay ⊥ Ax (tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O)
- Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA
- Dựng điểm O’ đối xứng với O qua AB
- Dựng cung tròn (Am'B) tâm O’ bán kính O’A
Ta được cung chứa 42° trên đoạn thẳng AB = 3cm
Bài 35 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, góc A = 45° và trung tuyến AM = 2,5cm
Bài giải:Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm
- Vẽ tia Bx sao cho góc (CBx) = 45°
- Dựng trung điểm M của BC
- Dựng đường trung trực của BC (qua M)
- Dựng tia vuông góc với Bx tại B, cắt đường trung trực của BC tại O
- Dựng cung tròn BmC bán kính OB là cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn BC
- Dựng cung tròn tâm M bán kính 2,5cm cắt cung BmC lần lượt tại A và A’
- Nối AB, AC (hoặc A’B, A’C) ta có: Δ ABC (Δ A’BC) có BC = 3cm, góc A = 45° (hoặc góc (A') =45°) và trung tuyến AM =2,5cm
Bài 36 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD=CB
a. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
b. Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài giải:Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB cố định thì C chuyển động trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AB. Khi đó dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB
- Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B thì D cũng trùng với B. vậy B là điểm của quỹ tích
- Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A. Khi đó D trùng với B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45° vẽ trên AB
* Chứng minh đảo:
Lấy điểm D’ bất kì trên cung lớn AB, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’
Quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung BB’ nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C
b)
b. Hình b:
* Chứng minh thuận
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
Khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định thì E chuyển động trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB cố định
-Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn thì C trùng với B nên E cũng trùng với B. vậy B là một điểm của quỹ tích
- Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích
Vậy E chuyển động trên cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C
* Chứng minh đảo:
Lấy điểm E’ bất kì trên cung chứa góc 135°, nối AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BE’, B’C’
Quỹ tích điểm các điểm E khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C
Bài 37 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài giải:* Chứng minh thuận:
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P.
Vì O cố dịnh, đường tròn đường kính AB cố định nên P cố định. Nối PD
Ta có: OP // CH (cùng ⊥ AB)
Xét hai tam giác HCO và DOP ta có:
OD = CH (gt)
Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với hai đầu đọa thẳng OP cố định một góc (ODP) = 90°
Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP
* Chứng minh đảo:
Lấy điểm D’ bất kì trên đường tròn đường kính OP, nối OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’. Nối PD’ và C’H’ ⊥ AB
Xét hai tam giác C’H’O và PD’O ta có:
Vậy Δ C’H’O = Δ PD’O (c. g. c) ⇒ C’H’ = OD’
Quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP
Bài 38 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD
Bài giải:Cách dựng:
- Dựng cung chứa góc 90° trên đoạn MN
- Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn AM
Hai cung cắt nhau tại C
- Nối CM, CN
- Kẻ AB ⊥ CN tại B, AD ⊥ CN tại D
Tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng
Bài 1 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dựng một cung chứa góc 600 trên đoạn thẳng AB cho trước.
Bài giải:Cách dựng:
− Dựng đoạn thẳng AB.
− Dựng tia Ax sao cho góc BAx = 60o.
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.
− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A.
− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.
− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.
− Dựng O' đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A.
Ta có cung chứa góc 60° vẽ trên đoạn AB cho trước.
Bài 2 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.
Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.
Bài giải:* Chứng minh thuận:
Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.
Δ OBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)
IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao
OI ⊥ BC
Góc OIA = 90o
Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc góc OIA = 90o. Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.
* Chứng minh đảo:
Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.
Ta chứng minh: I’B = I’C’.
Trong đường tròn đường kính AO ta có góc OI'A = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
OI'⊥ B'C'
I'B' = I'C' (đường kính vuông góc với dây cung)
Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.
Bài 3 trang 106 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
Trong Δ ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.
Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.
Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC.
Xét Δ AMC và Δ PNC:
CM = CN (vì Δ MCN đều)
CA = CP (vì Δ APC đều)
Suy ra: Δ AMC = Δ PNC (c. g. c)
⇒ PN = AM
MA + MB + MC = MB + MN + NP
Ta có Δ ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.