Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn - trang 51 Sách bài tập Toán 9 Tập 2
Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 15 trang 51 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. 7x2 – 5x = 0
b. -√ 2 x2 + 6x = 0
c. 3,4x2 + 8,2x = 0
a. Ta có: 7x2 – 5x = 0 ⇔ x (7x – 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 7x – 5 = 0
7x – 5 = 0 ⇔ x = 5/7.
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2= 5/7
b. Ta có: -√ 2 x2 + 6x = 0 ⇔ x (6 - √ 2 x) = 9
⇔ x = 0 hoặc 6 - √ 2 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3√ 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2 = 3√ 2
c. Ta có: 3,4x2 + 8,2x = 0 ⇔ x (3,4x + 8,2) = 0
⇔ x = 0 hoặc 3,4x + 8,2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = - (8,2)/ (3,4)
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 0, x2= - (4,1)/ (1,7)
d. Ta có: -2/5. x2 - 7/3. x = 0 ⇔ 6x2 + 35x = 0 ⇔ x (6x + 35) = 0
⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -35/6.
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2 = -35/6
Bài 16 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. 5x2 – 20 = 0
b. -3x2 + 15 = 0
c. 1,2x2 – 0,192 = 0
d. 1172,5x2 + 42,18 = 0
Bài giải:a. Ta có: 5x2 – 20 = 0 ⇔ 5x2= 20 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2, x2 = -2
b. Ta có: -3x2 + 15 = 0 ⇔ -3x2 = -15 ⇔ x2 = 5 ⇔ x = ±√ 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = √ 5, x2 = -√ 5
c. Ta có: 1,2x2 – 0,192 = 0 ⇔ 1,2x2 = 0,192 ⇔ x2 = 0,16 ⇔ x = ±0,4
Vậy phương trình có hai nghiệm x1= 0,4, x2 = -0,4
d. Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ 1172,5x2 ≥ 0 ⇒ 1172,5x2 + 42,18 > 0
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình nên phương trình vô nghiệm.
Bài 17 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. (x – 3)2 = 4
b. (1/2 - x)2– 3 = 0
c. (2x - 2)2 – 8 = 0
d. (2,1x – 1,2)2– 0,25 = 0
Bài giải:a. Ta có: (x – 3)2 = 4 ⇔ (x – 3)2 – 22= 0
⇔ [(x – 3) + 2][ (x – 3) – 2] = 0 ⇔ (x – 1)(x – 5) = 0
⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5
b. Ta có: (1/2 - x)2 – 3 = 0 ⇔ (1/2 - x)2 – (√ 3)2 = 0
⇔ [(1/2 - x) + √ 3][ (1/2 - x) - √ 3] = 0
⇔ (1/2 + √ 3 – x)( 1/2 - √ 3 – x) = 0
⇔ 1/2 + √ 3 – x = 0 hoặc 1/2 - √ 3 – x = 0
⇔ x = 1/2 + √ 3 hoặc x = 1/2 - √ 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1/2 + √ 3, x2 = 1/2 - √ 3
c. Ta có: (2x - √ 2)2 – 8 = 0 ⇔ (2x - √ 2)2 – (2√ 2)2 = 0
⇔ [(2x - √ 2) + 2√ 2][ (2x - √ 2) - 2√ 2] = 0
⇔ (2x - √ 2 + 2√ 2)(2x - √ 2 - 2√ 2) = 0
⇔ (2x + √ 2)(2x - 3√ 2) = 0
⇔ 2x + √ 2 = 0 hoặc 2x - 3√ 2 = 0
⇔ x = -√ 2/2 hoặc x = 3√ 2/2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -√ 2/2 hoặc x2 = 3√ 2/2
d. Ta có: (2,1x – 1,2)2 – 0,25 = 0 ⇔ (2,1x – 1,2)2 – (0,5)2 = 0
⇔ [(2,1x – 1,2) + 0,5] [(2,1x – 1,2) – 0,5] = 0
⇔ (2,1x – 1,2 + 0,5) (2,1x -1,2 – 0,5) = 0
⇔ (2,1x – 0,7) (2,1x – 1,7) = 0
⇔ 2,1x – 0,7 = 0 hoặc 2,1x – 1,7 = 0
⇔ x = (0,7)/ (2,1) hoặc x = (1,7)/ (2,1) ⇔ x = 1/3 hoặc x = 17/21
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1/3 hoặc x2 = 17/21
Bài 18 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.
a. x2 – 6x + 5 = 0
b. x2 – 3x – 7 = 0
c. 3x2 – 12x + 1 = 0
d. 3x2 – 6x + 5 = 0
Bài giải:a. Ta có: x2 – 6x + 5 = 0
⇔ x2 – 2.3x + 5 + 4 = 4
⇔ x2 – 2.3x + 9 = 4
⇔ (x – 3)2 = 22
⇔ x – 3 = ±2
⇔ x – 3 = 2 hoặc x – 3 = -2
⇔ x = 1 hoặc x = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5
d. Ta có:
3x2 – 6x + 5 = 0
⇔ x2- 2x + 5/3 = 0
⇔ x2 – 2x + 5/3 + 1 = 1
⇔ x2 – 2x + 1 = 1 - 5/3
⇔ (x – 1)2 = -2/3
Ta thấy (x – 1)2≥ 0 và -2/3 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 19 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Nhận thấy rằng phương trình tích (x + 2)(x – 3) = 0, hay phương trình bậc hai x2 – x – 6 = 0, có hai nghiệm là x1 = -2, x2 = 3. Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:
a. x1 = 2, x2 = 5
b. x1 = -1/2, x2 = 3
c. x1 = 0,1, x2 = 0,2
d. x1 = 1 - √ 2, x2 = 1 + √ 2
Bài giải:a. Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ x2 – 7x + 10 = 0
b. Hai số -1/2 và 3 là nghiệm của phương trình:
(x + 1/2)(x – 3) = 0 ⇔ 2x2 – 5x – 3 = 0
c. Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:
(x – 0,1) (x – 0,2) = 0 ⇔ x2 – 0,3x + 0,02 = 0
d. Hai số 1 - √ 2 và 1 + √ 2 là nghiệm của phương trình:
[x – (1 - √ 2)] [x – (1 + √ 2)] = 0
⇔ x2 – (1 + √ 2)x – (1 - √ 2)x + (1 - √ 2)(1 + √ 2) = 0
⇔ x2 – 2x – 1 = 0
Bài 1 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và xác định các hệ số a, b, c:
a) 4 x2 + 2x = 5x - 7
b) 5x - 3 + √ 5. x2 = 3x - 4 + x2
c) m x2 - 3x + 5 = x2 - mx
d) x + m2x2 + m = x2 + mx + m + 2
Bài giải:a) 4 x2 + 2x = 5x - 7
⇔ 4 {x2 - 3x + 7 = 0 có a = 4, b = -3, c = 7
b) 5x - 3 + √ 5 x2 = 3x - 4 + x2
⇔ (√ 5 - 1)x2 + 2x + 1 = 0
Hệ số: a = √ 5 - 1; b = 2; c = 1
c) m x2 - 3x + 5 = x2 - mx
⇔ m x2 - 3x + 5 - x2 + mx = 0
⇔ (m - 1)x2 - (3 - m)x + 5 = 0
m - 1 ≠ 0, thì pt trên là pt bậc hai với hệ số a = m – 1; b = - (3 – m); c = 5
d) x + m2x2 + m = x2 + mx + m + 2
⇔ m2x2 - x2 + x - mx + m - m - 2 = 0
⇔ (m2 - 1) x2 + (1 - m) x - 2 = 0
m2 - 1 ≠ 0 nó là phương trình bậc hai có hệ số: a = m2 - 1, b = 1 - m, c = - 2
Bài 2 trang 52 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
Bài giải:
Bài 3 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm b, c để phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là những số dưới đây:
Bài giải:
Bài 4 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm a, b, c để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Bài giải:x = -2 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0, ta có:
4a - 2b + c = 0 (1)
x = 3 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 ta có:
9a + 3b + c = 0 (2)
Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1 = -2; x2 = 3
Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:
& 2x2 - 2x - 12 = 0
& x2- x - 6 = 0
& (x + 2)(x - 3) = 0
Có nghiệm: x1 = - 2; x2 = 3
Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.