Bài 8: Nghiệm của đa thức một biến - trang 56 toán 7 VNEN tập 2

A. Hoạt động khởi động

Câu hỏi trang 56 toán 7 VNEN tập 2.

a) Cho đa thức Q (x) = x² – 2x + 3. Tính Q (-1); Q (3); Q (1)

b) Cho biết công thức đổi từ độ F sang độ C là C = . Tính xem nước đóng băng ở bao nhiêu độ F. (Biết rằng nước đóng băng ở 0⁰C)

B. Hoạt động hình thành kiến thức

Câu hỏi 1. trang 56 toán 7 VNEN tập 2.

a) Xét đa thức P (x) = 2x +

- Tính P (-)

b) Đọc kĩ nội dung sau (Sgk trang 56)

c) Thực hiện theo yêu cầu

- Giải thích tại sao x = - 1 và x = 1 là các nghiệm của đa thức Q (x) = x² – 1.

- Kiểm tra xem x = có phải là nghiệm của đa thức P (x) = 5x + hay không.

- Nêu cách kiểm tra một số a có phải là nghiệm của đa thức P (x) không.

- Giải thích tại sao đa thức G (x) = x² + 3 không có nghiệm.

Bài giải:

a)

c)

- Ta có: Q (-1) = (-1)² – 1 = 0 và Q (1) = (1)² – 1 = 0

Vì tại x = -1 và x = 1, đa thức Q (x) có giá trị bằng 0 nên chúng là các nghiệm của đa thức Q (x).

- Thay x = vào đa thức P (x) = 5x + ta được:

- Để kiểm tra một số a có phải là nghiệm của đa thức P (x) không, ta đi tìm P (a).

+ Nếu P (a) = 0 thì x = a là nghiệm của P (x)

+ Nếu P (a) khác 0 thì x = a không là nghiệm của P (x).

- Đa thức G (x) = x² + 3 không có nghiệm, vì tại x = b bất kỳ, ta luôn có:

G (b) = b² + 3 > = 0 + 3 > 0

Câu 2. trang 57.

a) Chú ý (Sgk trang 57)

b) Thực hiện theo yêu cầu

* x = - 2; x = 0 và x = 2 có phải là nghiệm của đa thức x³ – 4x hay không? Vì sao?

* Trong các số cho ở bảng sau, số nào là nghiệm của đa thức (ở cùng hàng)?

Từ kết quả của bài tập trên, hãy trả lời câu hỏi: Có thể tìm nghiệm của đa thức bằng cách nào?

Bài giải:

b) * Ta có:

- Thay x = - 2 vào đa thức x³ – 4x ta được (-2)³ – 4 (-2) = 0

- Thay x = 0 vào đa thức x³ – 4x ta được (0)³ – 4 (0) = 0

- Thay x = 2 vào đa thức x³ – 4x ta được (2)³ – 4 (2) = 0

Vậy x = -2; x = 0 và x = 2 là các nghiệm của đa thức x³ – 4x.

* a) x = - là nghiệm của đa thức P (x) = 2x +

* b) x = 3 và x = -1 là các nghiệm của đa thức Q (x) = x² – 2x – 3

Kết luận: Có thể tìm nghiệm của đa thức bằng cách tìm các giá trị của biến sao cho tại giá trị đó, giá trị của đa thức bằng 0.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1. trang 57 toán 7 VNEN tập 2.

Kiểm tra xem mỗi số x = 1; x = 3 có phải là một nghiệm của đa thức P (x) sau không?

P (x) = x² – 4x + 3

Bài giải:

- Tại x = 1, đa thức P (x) có giá trị là: P (1) = (1)² – 4 (1) + 3 = 0

- Tại x = 3, đa thức P (x) có giá trị là: P (3) = (3)² – 4 (3) + 3 = 0

Vậy x = 1 và x = 3 là một nghiệm của đa thức P (x) đã cho.

Câu 2. trang 57.

Trong tập hợp các số {1; 2; -1; 0}, số nào là nghiệm, số nào không phải là nghiệm của đa thức: R (x)= x⁴ + 2x³ – x² + x – 3?

Bài giải:

Lần lượt thây các số 1,2,-1,0 vào đa thức R (x) ta được:

+) R (1) = (1)⁴ + 2 (1)³ – (1)² + 1 – 3 = 0

+) R (2) = (2)⁴ + 2 (2)³ – (2)² + 2 – 3 = 27

+) R (1) = (-1)⁴ + 2 (-1)³ – (-1)² + (-1) – 3 = - 6

+) R (1) = (0)⁴ + 2 (0)³ – (0)² + 0 – 3 = - 3

Nhận xét:

+) Ta thấy tại x = 1, giá trị của đa thức R (x) = 0, nên x = 1 là nghiệm của đa thức R (x).

+) Tại x = 2, x = -1 và x = 0, giá trị của đa thức R (x) khác 0, nên chúng không phải là nghiệm của đa thức R (x).

Câu 3. trang 57.

a) Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

+) P (y) = 3y – 6;

+) N (x) = – 2x;

+) D (z) = z³ - 27

+) M (x) = x² – 4;

+) C (y) = √ 2y + 3

b) Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm: Q (x) = x⁴ + 1

Bài giải:

a) Xét:

+) P (y) = 0 ⇔ 3y – 6 = 0 ⇔ 3y = 6 ⇔ y = 2

Vậy S = {2}

+) N (x) = 0 ⇔ – 2x = 0 ⇔ 2x = ⇔ x =

Vậy S = {}

+) D (z) = 0 ⇔ z³ - 27 = 0 ⇔ z³ = 27 ⇔ z = 3

Vậy S = {3}

+) M (x) = 0 ⇔ x² – 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 và x = -2

Vậy S = {2; -2}

+) C (y) = 0 ⇔ √ 2y + 3 = 0 ⇔ √ 2y = -3 ⇔ y =

Vậy S= {}

b) Tại x = a bất kỳ, ta luôn có: Q (a) = (a⁴) + 1 ≥ 0 + 1 > 0

Do đó tại x = a bất kỳ, giá trị của đa thức Q (x) luôn lớn hơn 0. Vậy đa thức Q (x) không có nghiệm.

D. Hoạt động vận dụng

Câu 1. trang 57 toán 7 VNEN tập 2.

Bạn Hùng nói: "Ta chỉ có thể viết được một đa thức một biến có nghiệm bằng 1"

Bạn Sơn nói: "Có thể viết được nhiều đa thức một biết có nghiệm bằng 1"

Em hãy cho biết ý kiến của em?

Bài giải:

Em đồng ý với ý kiến của bạn Sơn.

Ta có thể viết được nhiều đa thức một biến có nghiệm bằng 1 với nhiều bậc khác nhau, ví dụ như:

M (x) = x - 1; N (x) = x² – 4x + 3; P (x) = x⁴ + 2x³ – x² + x – 3...

Câu 2. trang 58.

Hãy viết một đa thức sao cho nó:

a) Có một nghiệm duy nhất là x = -3

b) Chỉ có 2 nghiệm là x = 2 và x = -2

c) Không có nghiệm

Bài giải:

a) Đa thức có một nghiệm duy nhất là x = -3: P (x) = x³ + 27

b) Đa thức chỉ có 2 nghiệm x = 2 và x = -2: F (x) = x² – 4

c) Đa thức không có nghiệm: K (x) = x⁴ + 5

E. Hoạt động tìm tòi mở rộng

Câu 1. trang 58 toán 7 VNEN tập 2.

Cho đa thức A (x) = ax² + bx + c (với a, b, c là các hằng số). Chứng minh rằng:

a) Nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức A (x);

b) Nếu a – b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của đa thức A (x);

Bài giải:

a) Giả sử x = 1 là một nghiệm của đa thức A (x), ta có:

A (1) = 0 ⇔ a (1)² + b (1) + c = 0 ⇔ a + b + c = 0 (đpcm)

Vậy a + b + c = 0 thì x = 1 là 1 nghiệm của đa thức A (x)

b) Giả sử x = -1 là nghiệm của đa thức A (x), ta có:

A (-1) = 0 ⇔ a (-1)² + b (-1) + c = 0 ⇔ a – b + c = 0 (đpcm)

Vậy a – b + c = 0 thì x = -1 là 1 nghiệm của đa thức A (x)

Câu 2. trang 58.

Cho hai đa thức P (x) và Q (x) đều có nghiệm. Có thể khẳng định được rằng đa thức P (x) + Q (x) luôn có nghiệm hay không? Minh họa cho câu trả lời của em bằng một ví dụ.

Bài giải:

Có thể khẳng định được rằng đa thức P (x) + Q (x) luôn có nghiệm với P (x) và Q (x) đều có nghiệm.

Ví dụ: P (x) = 2x + 2 có nghiệm là x = -1

Và Q (x) = 3x – 6 có nghiệm là x= 2

Ta có P (x) + Q (x) = (2x + 1) + (3x – 6) = 5x – 5

- Xét F (x) = 5x – 5:

F (x) = 0 ⇔ 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức F (x) hay nói cách khác x =1 là nghiệm của đa thức P (x) + Q (x) (đpcm)

Câu 3. trang 58.

Cho hai đa thức M (x) và N (x) có cùng một nghiệm. Có thể khẳng định được rằng đa thức M (x) + N (x) luôn có nghiệm hay không? Cho một ví dụ minh họa cho câu trả lời của em.

Bài giải:

Có thể khẳng định được rằng đa thức M (x) + N (x) luôn có nghiệm với M (x) và N (x) có cùng một nghiệm.

Ví dụ: M (x) = 4x + 8 có nghiệm là x = -2

Và N (x) = 3x + 6 có nghiệm là x = -2

Ta có M (x) + N (x) = (4x + 8) + (3x + 6) = 7x +14

- Xét F (x) = 7x + 14:

F (x) = 0 ⇔ 7x + 14 = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = - 2 là nghiệm của đa thức F (x) hay nói cách khác x = -2 là nghiệm của đa thức M (x) + N (x) với M (x) và N (x) có cùng một nghiệm. (đpcm)

Bài trước: Bài 7: Cộng, trừ đa thức một biến - trang 53 toán 7 VNEN tập 2 Bài tiếp: Bài 9: Ôn tập chương 4 - trang 58 toán 7 VNEN tập 2