Bài 7: Cộng, trừ đa thức một biến - trang 53 toán 7 VNEN tập 2

A. Hoạt động khởi động

Câu 1. trang 53 toán 7 VNEN tập 2. Mỗi bạn viết các đa thức một biến có bậc bằng số thành viên của nhóm mình trong thời gian 3 phút.

Bài giải:

Ví dụ mẫu: Số thành viên của nhóm là 5, nên ta viết được các đa thức một biến có bậc bằng 5 như sau:

A = x⁵ + x³ + x⁰

B = x⁵ + x⁴ + x²

Câu 2. trang 53.

Xét hai đa thức:

F (x) = 7x² – 7 + 6x – x³

G (x) = x⁴ + 11 – 8x³ – 5x²

+ Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

+ Tìm bậc và chỉ ra các hệ số khác 0 của F (x) và G (x).

Bài giải:

+ Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến:

F (x)= −x³ + 7x² + 6x − 7

G (x)=x⁴ − 8x³ − 5x² + 11

+ Tìm bậc và chỉ ra các hệ số khác 0 của F (x) và G (x).

Với F (x) = 7x² – 7 + 6x − x³

Bậc khác 0 là 3,2,1

Hệ số khác 0 là 7,6, -1

Với G (x) = x⁴ + 11 − 8x³ − 5x²

Bậc khác 0 là 4,3,2

Hệ số khác 0 là 1, -8, -5

B. Hoạt động hình thành kiến thức

Câu 1. trang 53 toán 7 VNEN tập 2.

Cho hai đa thức

P (x) = 2x⁵ + 5x⁴ − x³ + x² – x − 1

Q (x) = − x⁴ + x³ + 5x + 2

- Tính P (x) + Q (x) và P (x) - Q (x) theo cách cộng, trừ hai đa thức đã biết.

- Tương tự như cộng, trừ hai số theo cột dọc, hãy thảo luận và đưa ra cách khác để thực hiện các phép tính F (x) + G (x) và F (x) - G (x)

Bài giải:

- Tính P (x) + Q (x) và P (x) - Q (x) theo cách cộng, trừ hai đa thức đã biết.

+) Cộng hai đa thức:

P (x) + Q (x) = (2x⁵ + 5x⁴ − x³ + x² – x − 1) + (−x⁴ + x³ + 5x + 2)

= 2x⁵ + 5x⁴ − x³ + x² – x – 1 − x⁴ + x³ + 5x + 2

= 2x⁵ + (5x⁴ − x⁴) + (x³ − x³) + x² + (5x − x) + 2 − 1

= 2x⁵ + 4x⁴ + x² + 4x + 1

+) Trừ hai đa thức:

P (x) - Q (x) = (2x⁵ + 5x⁴ − x³ + x² – x − 1) - (−x⁴ + x³ + 5x + 2)

= 2x⁵ + 5x⁴ − x³ + x² – x – 1 + x⁴ − x³ − 5x − 2

= 2x⁵ + (5x⁴ + x⁴) − (x³ + x³) + x² − (5x + x) – 2 − 1

= 2x⁵ + 6x⁴ + 2x³ + x² − 6x − 3

Câu 2. trang 53. Đọc kĩ nội dung sau

Câu 3. trang 54.

Cho hai đa thức M (x)= x⁴ + 5x³ - x² + x - 0,5 và N (x) = 3x⁴ – 5x² – x - 2,5

Tìm M (x) + N (x) và M (x) - N (x)

Bài giải:

+) M (x) + N (x)= (x⁴ + 5x³ - x² + x - 0,5) + (3x⁴ - 5x² - x - 2,5)

= x⁴ + 5x³ - x² + x - 0,5 + 3x⁴ - 5x² - x - 2,5

= (x⁴ + 3x⁴) + 5x³ – (x² + 5x²) + (x - x) - (0,5 + 2,5)

= 4x⁴ + 5x³ - 6x² - 3

+) M (x) - N (x) = (x⁴ + 5x³ - x² + x - 0,5) - (3x⁴ - 5x² - x - 2,5)

= x⁴ + 5x³ - x² + x - 0,5 - 3x⁴ + 5x² + x + 2,5

= (x⁴ - 3x⁴) + 5x³ + (5x² - x²) + (x + x) + (2,5 - 0,5)

= -2x⁴ + 5x³ + 4x² + 2x + 2

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1. trang 54 toán 7 VNEN tập 2.

Cho hai đa thức:

P (x) = 5x³ - + 7x⁴ + 8x²

Và Q (x) = 8x² – 5x – 3x³ + x⁴ -

Hãy tính P (x) + (Q (x) và P (x) – Q (x)

Bài giải:

+) P (x) + Q (x) = (5x³ - + 7x⁴ + 8x²) + (8x² – 5x – 3x³ + x⁴ - )

= 5x³- + 7x⁴+ 8x² + 8x² – 5x – 3x³ + x⁴ -

= (7x⁴ + x⁴) + (5x³ - 3x³) + (8x² + 8x²) – 5x – ( + )

= 8x⁴ + 2x³ + 16x² – 5x – 1

+) P (x) – Q (x) = (5x³ - + 7x⁴ + 8x²) - (8x² – 5x – 3x³ + x⁴ - )

= 5x³ - + 7x⁴+ 8x² - 8x² + 5x + 3x³ - x⁴ +

= (7x⁴ - x⁴) + (5x³ + 3x³) + (8x² - 8x²) + 5x + ( - )

= 6x⁴ + 8x³ + 5x +

Câu 2. trang 54.

Cho hai đa thức M (x) = 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³ và N (x) = x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x – 1

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

b) Tính M (x) + N (x) và M (x) – N (x).

c) Có thể chuyển phép trừ hai đa thức về phép cộng hai đa thức được không? Hãy thử tính M (x) – N (x) theo cách đó.

Bài giải:

a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức M (x) và N (x) theo lũy thừa tăng của biến ta được 2 đa thức mới như sau:

M (x) = 5 – 2x² + 3x² – 3x³ – x³ + x⁴ – x⁶

N (x) = -1 + x + x² – 2x³ + x³ – x⁴ + 2x⁵

b) Ta có:

+) M (x) + N (x) = (3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³) + (x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x – 1)

= 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³ + x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x – 1

= -x⁶ + 2x⁵ + (x⁴ – x⁴) + (x³ – x³ – 3x³ – 2x³) + (3x² – 2x² + x²) + x – (5 + 1)

= -x⁶ + 2x⁵ – 5x³ + 2x² + x – 6

+) M (x) – N (x) = (3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³) – (x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x – 1)

= 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³ – x³ – 2x⁵ + x⁴ – x² + 2x³ – x + 1

= -x⁶ – 2x⁵ + (x⁴ + x⁴) – (x³ + x³ + 3x³ – 2x³) + (3x² – 2x² – x²) – x – (5 – 1)

= -x⁶ – 2x⁵ + 2x⁴ – 3x³ – x – 4

c) Có thể chuyển phép trừ của hai đa thức về phép cộng hai đa thức bằng cách đổi dấu của đa thức trừ, như sau:

M (x) – N (x) = M (x) + (-N)(x)

= (3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³) + [- (x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² – 2x³ + x – 1)]

= (3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³) + (-x³ – 2x⁵ + x⁴ – x² + 2x³ – x + 1)

= 3x² – 5 + x⁴ – 3x³ – x⁶ – 2x² – x³ – x³ – 2x⁵ + x⁴ – x² + 2x³ – x + 1

= -x⁶ – 2x⁵ + (x⁴ + x⁴) – (x³ + x³ + 3x³ – 2x³) + (3x² – 2x² – x²) – x – (5 – 1)

= -x⁶ – 2x⁵ + 2x⁴ – 3x³ – x – 4

Câu 3. trang 54.

Cho đa thức A (x) = 2x⁴ – 3x³ + – 4x. Tìm đa thức B (x) và C (x), sao cho:

a) A (x) + B (x) = 4x⁵ – 2x² – 1

b) A (x) – C (x) = 2x³

Bài giải:

a) Với A (x) + B (x) = 4x⁵ – 2x² – 1 suy ra B (x) = 4x⁵ – 2x² – 1 – A (x) (*)

Thay A (x) = 2x⁴ – 3x³ + – 4x vào (*) ta được:

B (x) = (4x⁵ – 2x² – 1) – (2x⁴ – 3x³ + – 4x)

= 4x⁵ – 2x² – 1 – 2x⁴ + 3x³ – + 4x

= 4x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² +4x –

Vậy B (x) = 4x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 2x² +4x –

b) A (x) – C (x) = 2x³

Với A (x) – C (x) = 2x³ suy ra C (x) = A (x) – 2x³ (**)

Thay A (x) = 2x⁴ – 3x³ + – 4x vào (**) ta được:

C (x) = 2x⁴ – 3x³ + – 4x – 2x³

= 2x⁴ – (3x³ + 2x³) – 4x +

= 2x⁴ – 5x³ – 4x +

Vậy C (x) = 2x⁴ – 5x³ – 4x +

Câu 4. trang 54. Cho các đa thức:

P (x) = 2x⁴ – x – 2x³ + 1

Q (x) = 5x² – x³ + 4x

H (x) = - 2x⁴ + x² + 5

Tính P (x) + Q (x) + H (x) và P (x) – Q (x) – H (x)

Bài giải:

+) P (x) + Q (x) + H (x) = (2x⁴ – x – 2x³ + 1) + (5x² – x³ + 4x) + (- 2x⁴ + x² + 5)

= 2x⁴ – x – 2x³ + 1 + 5x² – x³ + 4x – 2x⁴ + x² + 5

= (2x⁴ – 2x⁴) – (2x³ + x³) + (5x² + x²) + (4x – x) + (1 + 5)

= – 3x³ + 6x² + 3x + 6

+) P (x) – Q (x) – H (x) = (2x⁴ – x – 2x³ + 1) – (5x² – x³ + 4x) – (- 2x⁴ + x² + 5)

= 2x⁴ – x – 2x³ + 1 – 5x² + x³ – 4x + 2x⁴ – x² – 5

= (2x⁴ + 2x⁴) – (2x³ – x³) – (5x² + x²) – (4x + x) + (1 – 5)

= 4x⁴ – x³ – 6x² + 5x – 4

D. Hoạt động vận dụng

Câu hỏi trang 55 toán 7 VNEN tập 2.

Một chiếc bút được bán với giá x đồng, một quyển vở đắt hơn chiếc bút 7000 đồng. Một quyển truyện tranh đắt gấp 5 lần chiếc bút. Lan mua 4 quyển vở và 5 chiếc bút, Mai mua 1 quyển truyện tranh, 3 quyển vở và 10 chiếc bút.

a) Viết theo x số tiền mỗi bạn phải trả;

b) Viết theo x tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn;

c) Nếu giá một chiếc bút là 3000 đồng và Bình muốn mua cả ba món đồ trên mà chỉ có 50000 đồng thì Bình có thể chọn mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Bài giải:

a) Theo đề bài, ta có: x đồng là giá tiền của một chiếc bút

x+ 7000 đồng là giá tiền của một quyển vở

5x đồng là giá tiền của một quyển truyện tranh

Vậy, tính theo x số tiền Lan phải trả khi mua 4 vở và 5 bút là:

4 (x + 7000) + 5x = 9x +28000 đồng

Mai mua 1 quyển truyện, 3 vở và 10 bút thì phải trả:

5x + 3 (x + 7000) + 10x = 18x + 21000 đồng

b) Tổng số tiền cửa hàng nhận được từ hai bạn là:

9x + 28000 + 18x + 21000 = 27x + 49000 đồng

c) Nếu một bút có giá 3000 đồng thì một quyển vở sẽ có giá là 3000 + 7000 = 10000 đồng và một quyển truyện tranh có giá là 3000 x 5= 15000 đồng.

Để có thể mua cả 3 món đồ với 50000 đồng và Bình có thể chọn mua nhiều số quyển vở nhất có thể thì Bình chỉ nên mua 1 cây bút và 1 cuốn truyện tranh, khi đó Bình còn:

50000 – 3000 – 15000 = 32000 đồng

Vậy Bình sẽ mua được nhiều nhất 3 quyển vở cùng với 1 cây bút, 1 cuốn truyện tranh và thừa 2000 đồng.

E. Hoạt động tìm tòi mở rộng

Câu 1. trang 55 toán 7 VNEN tập 2. Cho hai đa thức:

P (x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x² – x + 5 và Q (x) = 7 – 3x + 2x³ + x⁴ – 3x⁵

Tính P (x) – Q (x) và Q (x) – P (x). Có nhận xé gì về các hệ số của hai đa thức tìm được.

Bài giải:

Ta có:

(+) P (x) – Q (x) = (x⁵ – 2x⁴ + 3x² – x + 5) – (7 – 3x + 2x³ + x⁴ – 3x⁵)

= x⁵ – 2x⁴ + 3x² – x + 5 – 7 + 3x – 2x³ – x⁴ + 3x⁵

= (x⁵ + 3x⁵) – (2x⁴ + x⁴) – 2x³ + 3x² + (3x – x) + 5 – 7

= 4x⁵ – 3 x⁴ – 2x³ + 3x² + 2x – 2

(+) Q (x) – P (x) = (7 – 3x + 2x³ + x⁴ – 3x⁵) – (x⁵ – 2x⁴ + 3x² – x + 5)

= 7 – 3x + 2x³ + x⁴ – 3x⁵ – x⁵ + 2x⁴ – 3x² + x – 5

= – (x⁵ + 3x⁵) + (2x⁴ + x⁴) + 2x³ – 3x² – (3x – x) + 7 – 5

= – 4x⁵ + 3 x⁴ + 2x³ – 3x² – 2x + 2

⇒ Nhận xét: Các hệ số của 2 đa thức tìm được trên trái dấu nhau.

Câu 2. trang 55.

Viết đa thức P (x) = 7x³ – 3x² + 5x – 2

a) Tổng của 2 đa thức 1 biến;

b) Hiệu của 2 đa thức 1 biến.

Bạn Vinh nêu nhận xét: “ Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của 2 đa thức bậc 4. Theo em bạn nói đúng hay sai? Vì sao?

Bài giải:

a) Ta có: P (x) = (5 +2)x³ – 3x² + (6 – 1)x – 2

= 5x³ + 2x³ – 3x² + 6x – x – 2

= (5x³ – 3x² – x – 2) + (2x³ + 6x)

Khi đó, P (x) = M (x) + N (x) với M (x) = 5x³ – 3x² – x – 2 và N (x) = 2x³ + 6x

b) Ta có: P (x) = 7x³ + (2 – 5)x² + 5x – 2

= 7x³ + 2x² – 5x² + 5x – 2

= (7x³ + 2x²) – (5x² – 5x + 2)

Khi đó, P (x) = M (x) – N (x) với M (x) = 7x³ + 2x² và N (x) = 5x² – 5x + 2

Bạn Vinh nhận xét như vậy là đúng. Vì mặc dù trong đa thức đã cho không xuất hiện bất cứ biến nào có lũy thừa bậc 4, nhưng khi 2 đa thức mới tạo ra đều có biến bậc 4 và hệ số của chúng bằng nhau tuy nhiên lại trái dấu; khi đó, khi tính tổng chúng sẽ khử lẫn nhau và trở về đa thức ban đầu (không có biến bậc 4).

Câu 3. trang 55.

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: (3x² – 3x + 7) – (4x² – 5x + 3) + (x² – 2x).

Bài giải:

Ta có: (3x² – 3x + 7) – (4x² – 5x + 3) + (x² – 2x)

= 3x² – 3x + 7 – 4x² + 5x – 3 + x² – 2x

= (3x² +x² – 4x²) + (5x – 3x – 2x) + 7 – 3

= 4

Do đó giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x (đpcm)

Bài trước: Bài 6: Đa thức một biến - trang 47 toán 7 VNEN tập 2 Bài tiếp: Bài 8: Nghiệm của đa thức một biến - trang 56 toán 7 VNEN tập 2