Bài 5: Cộng, trừ đa thức - trang 44 toán 7 VNEN tập 2

A. Hoạt động khởi động

Câu hỏi trang 44 toán 7 VNEN tập 2.

- Viết một đa thức bậc 4 có hai biến là x, y.

- Viết một đa thức bậc 6 có ba biến là x, y, z.

Bài giải:

- Đa thức bậc 4 có hai biến là x, y là –x² + 2x²y² + xy + y + 2.

- Đa thức bậc 6 có ba biến là x, y, z là -2xy + 2xz + 4x³yz² + 4

B. Hoạt động hình thành kiến thức

Câu 1. trang 44 toán 7 VNEN tập 2.

a) Thực hiện theo yêu cầu

- Thu gọn đa thức: A = x³y² - 2x² + 1 + x²yz – 4x³y² +

- Thảo luận đưa ra cách cộng hai đa thức:

P = x³y² - 2x² + 1 và Q = x²yz – 4x³y² +

b) Đọc kĩ nội dung sau (Sgk trang 45)

c) Thực hiện theo yêu cầu

- Điền nội dung thích hợp vào chỗ trống (…) để giải thích cách làm:

Để cộng hai đa thức M = 5x²y + 5x – 3 và N = xyz – 4x²y + 5x ta làm như sau:

M + N = (Bước 1)

= 5x²y + 5x – 3 + xyz – 4x²y + 5x (…………)

= (5x²y – 4x²y) + (5x + 5x) + xyz + (– 3 ) (…………)

= x²y + 10x + xyz - (…………)

- Tìm tổng của hai đa thức A và B sau đây:

A = 5x²y – 5xy²+ xy và B = xy – x²y² + 5xy²

Bài giải:

a) Thu gọi biểu thức:

A = x³y² - 2x² + 1 + x²yz – 4x³y² +

=

=

- Cách cộng 2 đa thức P và Q:

Viết phép cộng 2 đa thức P và Q ta được một đa thức mới, sau đó thu gọn đa thức mới vừa tìm được.

c) M + N = (5x²y + 5x – 3) + (xyz – 4x²y + 5x ) (Bước 1)

= 5x²y + 5x – 3 + xyz – 4x²y + 5x (Bước 2)

= (5x²y – 4x²y) + (5x + 5x) + xyz + (– 3 ) (Bước 3)

= x²y + 10x + xyz - (Bước 4)

* Tính tổng 2 đa thức A và B:

A + B = (5x²y – 5xy² + xy) + (xy – x²y² + 5xy²)

= 5x²y – 5xy² + xy + xy – x²y² + 5xy²

= 5x²y + (– 5xy² + 5xy²) + (xy + xy) + x²y²

= 5x²y + 2xy + x²y²

Vậy 5x²y + 2xy + x²y² là tổng hai đa thức A và B.

Câu 2. trang 45.

a) Tương tự như cộng hai đa thức, hãy thảo luận và tìm cách trừ hai đa thức:

P = x³y² - 2x² + 1 và Q = x²yz – 4x³y² +

b) Đọc kĩ nội dung sau (Sgk trang 45)

c) Thực hiện theo yêu cầu

- Điền nội dung thích hợp vào chỗ trống (…) để giải thích cách làm:

Để trừ hai đa thức P = 5x²y – 4xy² + 5x – 3 và Q = xyz – 4x²y +xy² + 5x ta làm như sau:

P – Q = (5x²y – 4xy² + 5x – 3) - (xyz – 4x²y +xy² + 5x ) (Bước 1)

= 5x²y – 4xy² + 5x – 3 - xyz + 4x²y - xy² - 5x (…………)

= (5x²y + 4x²y) - (4xy² + xy²) + (5x - 5x) - xyz + (– 3 ) (…………)

= 9x²y -5xy² - xyz (…………)

Đa thức 9x²y -5xy² - xyz là hiệu của hai đa thức P và Q.

- Tìm hiệu của hai đa thức A = 5x²y – 5xy² + xy và B = xy – x²y² + 5xy²

Bài giải:

a) Cách trừ hai đa thức:

Bước 1: Viết phép trừ hai đa thức, mỗi đa thức được đặt trong dấu ngoặc

Bước 2: Áp dụng quy tắc đổi dấu để bỏ ngoặc.

Bước 3: Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử đồng dạng.

Bước 4: Cộng trừ các đơn thức đồng dạng.

P – Q = (x³y² - 2x² + 1) – (x²yz – 4x³y² + )

= x³y² - 2x² + 1- x²yz + 4x³y² -

= (x³y² + 4x³y²) + - x²yz

=

c) P – Q = (5x²y – 4xy² + 5x – 3) - (xyz – 4x²y +xy² + 5x ) (Bước 1)

= 5x²y – 4xy² + 5x – 3 - xyz + 4x²y - xy² - 5x (Bước 2)

= (5x²y + 4x²y) - (4xy² + xy²) + (5x - 5x) - xyz + (– 3 ) (Bước 3)

= 9x²y - 5xy² - xyz (Bước 4)

Đa thức 9x²y -5xy² - xyz là hiệu của hai đa thức P và Q.

*) Tính hiệu hai đa thức A và B:

A - B = (5x²y – 5xy²+ xy) - (xy – x²y² + 5xy²)

= 5x²y – 5xy²+ xy - xy + x²y² - 5xy²

= 5x²y - (5xy² + 5xy²) + (xy - xy) + x²y²

= 5x²y + 10xy² + x²y²

Vậy 5x²y + 10xy² + x²y² là hiệu hai đa thức A và B.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1. trang 46 toán 7 VNEN tập 2.

Tìm tổng của hai đa thức trong mỗi trường hợp sau:

a) P = x²y + x³ – xy² + 3 và Q = x³ + xy² – xy – 6

b) M = x²y + 0,5xy³ – 7,5x³y² + x³ và N = 3xy³ – x²y + 5,5x³y²

Bài giải:

a) P + Q = (x²y + x³ – xy² + 3) + (x³ + xy² – xy – 6)

= x²y + x³ – xy² + 3 + x³ + xy² – xy – 6

= x²y+ (x³+ x³)+ (– xy²+ xy²)+ (3– 6) - xy

= x²y + 2x³ -3 - xy

b) M + N = (x²y + 0,5xy³ – 7,5x³y² + x³) + (3xy² – x²y + 5,5x³y²)

= x²y + 0,5xy³ – 7,5x³y² + x³ + 3xy³ – x²y + 5,5x³y²

= (x²y – x²y) + (0,5xy³+ 3xy³) + (– 7,5x³y²+ 5,5x³y²) + x³

= 3,5xy³ – 2x³y² + x³

Câu 2. trang 46

Cho đa thức M = 3xyz – 3x² + 5xy – 1 và N = 5x² + xyz – 5xy + 3 – y

Tính M + N; M – N; N – M

Bài giải:

*) M + N = (3xyz – 3x² + 5xy – 1) + (5x² + xyz – 5xy + 3 – y)

= 3xyz – 3x² + 5xy – 1 + 5x² + xyz – 5xy + 3 – y

= (3xyz + xyz) + (– 3x²+ 5x²) + (5xy – 5xy) + (-1 +3) –y

= 4xyz + 2x² – y + 2

*) M – N = (3xyz – 3x² + 5xy – 1) – (5x² + xyz – 5xy + 3 – y)

= 3xyz – 3x² + 5xy – 1 - 5x² - xyz + 5xy - 3 + y

= (3xyz- xyz) – (3x² + 5x²) + (5xy + 5xy) – (1+3) + y

= 2xyz – 8x² + 10xy + y – 4

*) N – M = (5x² + xyz – 5xy + 3 – y) – (3xyz – 3x² + 5xy – 1)

= 5x² + xyz – 5xy + 3 – y - 3xyz + 3x² - 5xy + 1

= (5x²+ 3x²) + (xyz- 3xyz) – (5xy + 5xy) – y + (3+ 1)

= 8x² – 2xyz – 10xy – y + 4

Câu 3. trang 46.

Tìm đa thức P và đa thức Q biết:

a) P + (x² – 2y²) = x² – y² + 3y² – 1

b) Q – (5x² – xyz) = xy + 2x² – 3xyz + 5

Bài giải:

a) P + (x² – 2y²) = x² – y² + 3y² – 1

⇒ P = (x² – y² + 3y² – 1) – (x² – 2y²)

⇒ P = x² – y² + 3y² – 1 – x² + 2y²

⇒ P = (x² – x²) + (-y² + 3y² + 2y²) – 1

⇒ P = 4y² – 1

b) Q – (5x² – xyz) = xy + 2x² – 3xyz + 5

⇒ Q = (xy + 2x² – 3xyz + 5) + (5x² – xyz)

⇒ Q = xy + 2x² – 3xyz + 5 + 5x² – xyz

⇒ Q = xy + (2x² + 5x²) – (3xyz + xyz) + 5

⇒ Q = xy + 7x² – 4xyz + 5

Câu 4. trang 46

Tính giá trị của mỗi đa thức trong các trường hợp sau:

a) x² + 2xy – 3x³ + 2y³ + 3x³ – y³ tại x = 5 và y = 4

b) xy – x²y² + x⁴y⁴ – x⁶y⁶ + x⁸ y⁸ tại x = -1 và y = -1

Bài giải:

a) Rút gọn đa thức:

x² + 2xy – 3x³ + 2y³ + 3x³ – y³

= x² + 2xy + (– 3x³+ 3x³) + (2y³– y³)

= x² + 2xy + y³

Giá trị của đa thức x² + 2xy + y³ tại x = 5 và y = 4 là: 5² + 2.5.4 + 4³ = 129

b) Giá trị của đa thức xy – x²y² + x⁴y⁴ – x⁶y⁶ + x⁸ y⁸ tại x = -1 và y = -1 là:

(-1). (-1) – (-1)². (-1)² + (-1)⁴. (-1)⁴ - (-1)⁶. (-1)⁶ + (-1)⁸. (-1)⁸

= 1 – 1 + 1 -1 + 1 = 1

Câu 5. trang 46.

Cho đa thức: A = x² – 2y + xy + 1; B = x² + y – x²y² – 1

Tìm đa thức C sao cho: a) C = A + B b) C + A = B

Bài giải:

a) A + B = x² – 2y + xy + 1 + (x² + y – x²y² – 1)

= x² – 2y + xy + 1 + x² + y – x²y² – 1

= (x² + x²) + (-2y + y) + xy – x²y² + (1 – 1)

= 2x² – y + xy – x²y².

Vậy đa thức thức C= 2x² – y + xy – x²y²

b) C = B – A

= (x² + y – x²y² – 1) – (x² – 2y + xy + 1)

= x² + y – x²y² – 1 - x² + 2y - xy – 1

= (x² – x²) + (y + 2y) – x²y²- xy – (1 + 1)

= 3y – x²y²- xy – 2.

Vậy đa thức C = 3y – x²y²- xy – 2.

Câu 6. trang 46.

Cho đa thức Q = - x²y⁵ + 3y² – 3x³ + x³y + 2015. Tìm một đa thức P sao cho tổng của P và Q là một đa thức không

Bài giải:

P + Q = 0 ⇒ P = - Q

⇒ P = - (- x²y⁵ + 3y² – 3x³ + x³y + 2015) = x²y⁵ - 3y² + 3x³ - x³y – 2015

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

Câu 1. trang 47 toán 7 VNEN tập 2.

Viết hai đa thức bất kì rồi tìm tổng và hiệu của chúng

Bài giải

Ta có đa thức A và B như sau:

A = x² – 2y + 4xy + y²

B = - 4x² – 2x – 4xy – y² + 1

*) Tổng: A + B = (x² – 2y + 4xy + y²) + (- 4x² – 2x – 4xy – y² + 1)

= x² – 2y + 4xy + y² - 4x² – 2x – 4xy – y² + 1

= (x² - 4x²) + (4xy– 4xy) + (y² – y²) – 2y – 2x + 1

= -3x² – 2y – 2x + 1

*) Hiệu: A – B = (x² – 2y + 4xy + y²) - (- 4x² – 2x – 4xy – y² + 1)

= x² – 2y + 4xy + y² + 4x² + 2x + 4xy + y² - 1

= (x² + 4x²) + (4xy+ 4xy) + (y² + y²) – 2y + 2x - 1

= 5x² +8xy + 2y² – 2y – 2x + 1

Câu 2. trang 47.

Hình 5 mô tả cách mà em có thể làm để có một cái hộp có ba kích thước là x, y, z. Các kích thước và tỉ lệ hộp phụ thuộc vào các giá trị x, y, z. Viết và thu gọn biểu thức biểu thị cho diện tích các mặt của hình hộp được thể hiện qua hình đó.

Bài giải:

Đánh số các mặt từ 1 đến 6:

S₁ = S₃ = x. y

S₂ = S₄ = y. z

S₅ = S₆ = x. z

⇒ Tổng diện tích các mặt là xy + yz + xz.

Câu 3. trang 47. Cho đa thức sau:

M = 7x²y² – 2xy – 5y³ – y² + 5x⁴

N = -x²y² – 4xy + 3y³ – 3y² + 2x⁴

P = -3x²y² + 6xy + 2y³ +6y² + 7

Tính M + N + P. Từ đó hãy chứng minh rằng: ít nhất một trong ba đa thức đã cho có giá trị dương với mọi x, y.

Bài giải:

M + N + P = (7x²y² – 2xy – 5y³ – y² + 5x⁴) + (-x²y² – 4xy + 3y³ – 3y² + 2x⁴) + (-3x²y² + 6xy + 2y³ +6y² + 7)

=7x²y² – 2xy – 5y³ – y² + 5x⁴ -x²y² – 4xy + 3y³ – 3y² + 2x⁴ -3x²y² + 6xy + 2y³ +6y² + 7

= (7x²y²-x²y²-3x²y²) + (– 2xy– 4xy+ 6xy) + (– 5y³ + 3y³ + 2y³) + (– y²– 3y² +6y²) + (5x⁴+ 2x⁴) + 7

= 3x²y² + 2y² + 6x⁴ + 7

Ta thấy: x²y² ≥ 0 với mọi x, y ⇒ 3x²y² ≥ 0 với mọi x, y

y² ≥ 0 với mọi y ⇒ 2y² ≥ 0 với mọi y.

x⁴ ≥ 0 với mọi x ⇒ 6x⁴ ≥ 0 với mọi x.

⇒ M + N + P > 0 với mọi x, y ⇒ ít nhất một trong ba đa thức đã cho có giá trị dương với mọi x, y.

Bài trước: Bài 4: Đa thức - trang 42 toán 7 VNEN tập 2 Bài tiếp: Bài 6: Đa thức một biến - trang 47 toán 7 VNEN tập 2