Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Giải bài tập Toán 12

a) y = 2 + 3x - x3;

b) y = -x3 + 4x2 - 4x

c) y = x3 + x2 + 9x;

d) y = -2x3 + 5

Lời giải:

a) Hàm số y = -x3 + 3x + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y' = -3x2 + 3.

y' = 0 ⇔ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (-1; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; yCT = 0.

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

3) Vẽ đồ thị:

Ta có: 2 + 3x – x3 = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y (0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số:

b) Hàm số y = -x3 + 4x2 - 4x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

y' = -3x2 + 8x - 4;

Trên các khoảng (-∞; 2/3) và (2; +∞) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (2/3; 2) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, fCD = 0;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2/3; fCT =

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

3) Vẽ đồ thị:

Ta có: -x3 + 4x2 - 4x = 0 ⇔ -x (x - 2)2 = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với Ox là (0; 0) và (2; 0).

- y (1) = -1. Vậy (1; -1) thuộc đồ thị hàm số.

- y (3) = -3. Vậy (3; -3) thuộc đồ thị hàm số

- y (-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị hàm số:

a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y' = -4x3 + 16x = -4x (x2 - 4)

y' = 0 ⇔ -4x (x2 - 4) = 0 ⇔ x = 0; x = ±2

Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2; yCĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -1.

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

3) Vẽ đồ thị:

- Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y (-x) = - (-x)4 + 8 (-x)2 - 1 = -x4 + 8x2 - 1 = y (x)

⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

- Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y (0) = -1).

- Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).

b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y' = 4x3 - 4x = 4x (x2 - 1)

y' = 0 ⇔ 4x (x2 - 1) = 0 ⇔ x = 0; x = ±1.

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

- Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

- Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

3) Vẽ đồ thị:

- Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

- Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

- Vẽ đồ thị hàm số:

c) Hàm số

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

- y' = 2x3 + 2x = 2x (x2 + 1)

y' = 0 ⇔ 2x (x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

- Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

3) Đồ thị:

- Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

- Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

- Hàm số cắt trục tung tại điểm

d) Hàm số y = -2x2 – x4 + 3.

1) TXĐ: D = R

2) Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y' = -4x - 4x3 = -4x (1 + x2)

y' = 0 ⇔ -4x (1 + x2) = 0 ⇔ x = 0

- Giới hạn:

- Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

- Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

3) vẽ đồ thị:

- Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

- Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

- Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x3 - 3x2 + 5 = 0;

b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0;

c) 2x2 - x4 = -1

Kiến thức áp dụng

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m:

x3 - 3x + m = 0

a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1

- Tập xác định: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x2 + 3 = -3 (x2 - 1)

y' = 0 ⇔ -3 (x2 - 1) = 0 ⇔ x = ±1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; yCT = -1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1; yCĐ = 3.

- Vẽ đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2; -1).

b) Ta có: x3 - 3x + m = 0 (*)

⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.

Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có:

- Nếu m + 1 < –1 ⇔ m < –2

⇒ (C) cắt (d) tại 1 điểm.

Suy ra, phương trình (*) có 1 nghiệm.

- Nếu m + 1 = –1 ⇔ m = –2

⇒ (C) cắt (d) tại 2 điểm

Suy ra, phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu –1 < m + 1 < 3 ⇔ –2 < m < 2

⇒ (C) cắt (d) tại 3 điểm.

Suy ra, phương trình (*) có 3 nghiệm.

- Nếu m + 1 = 3 ⇔ m = 2

⇒ (C) cắt (d) tại 2 điểm.

Suy ra, phương trình (*) có hai nghiệm.

- Nếu m + 1 > 3 ⇔ m > 2

⇒ (C) cắt (d) tại 1 điểm

Suy ra, phương trình (*) có một nghiệm.

Kết luận: + Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

- Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

- Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A (-1, √2).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Cho hàm số:

y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị (Cm).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.

Kiến thức áp dụng

Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.