Bài 2: Cực trị của hàm số - Giải BT Toán 12

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H. 7, H. 8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3 (x+ 3)² trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: Giả sử f (x) đạt cực đại tại x_o. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số

khi Δ x → 0 trong hai trường hợp Δ x > 0 và Δ x < 0.

Bài giải:

Với Δ x > 0 Ta có

Với Δ x < 0 Ta có IMG_1 f' (x_o^-).

Vậy f’ (x_o) = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14:

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = x/3 (x-3)² (H. 8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Bài giải:

a, Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x/3 (x-3)² đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không?

Bài giải:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f (x) = x (x^2 – 3).

Bài giải:

1. TXĐ: D = R

2. f’ (x) = 3x^2 – 3. Cho f’ (x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12:

Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

Bài giải:

a) TXĐ: D = R

y' = 6x2 + 6x - 36

y' = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3; yCĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ: D = R

y'= 4x3 + 4x = 4x (x2 + 1) = 0;

y' = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R \ {0}

y' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) TXĐ: D = R

y'= (x3)’. (1 – x)2 + x3. [ (1 – x)2]’

= 3x2. (1 – x)2 + x3.2 (1 – x). (1 – x)’

= 3x2 (1 – x)2 - 2x3 (1 – x)

= x2. (1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0. )

e) Tập xác định: D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) và x₀ ∈ (a; b).

+ Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x₀ nếu tồn tại giới hạn

+ Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x₀ nếu tồn tại số dương h sao cho f (x) > f (x₀) với ∀ x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) và x ≠ x₀..

Giải bài 4 trang 18 sgk Giải tích 12: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số: y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Bài giải:

TXĐ: D = R

+ y' = 3x2 - 2mx – 2

y’ = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0 ⇔

+ y’’ = 6x – 2m.

⇒ là một điểm cực đại của hàm số.

⇒ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Kiến thức áp dụng:

Xét y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h), h > 0.

+ f’ (x₀) = 0 và f’’ (x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

+ f’ (x₀) = 0 và f’’ (x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Giải bài 5 trang 18 sgk Giải tích 12:

Tìm a và b để các cực trị của hàm số đều là nhưng số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

Bài giải:

TXĐ: D = R.

+ y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a2x + 4a.

- Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

- Nếu a ≠ 0.

Các cực trị của hàm số đều dương

Các cực trị của hàm số đều dương

Vậy hoặc là các giá trị cần tìm.

Kiến thức áp dụng:

Xét y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h), h > 0.

+ f’ (x₀) = 0 và f’’ (x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

+ f’ (x₀) = 0 và f’’ (x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số: đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Bài giải:

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.