Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn - Chuyên đề Toán 10

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định giao điểm của 2 đường tròn (C1): x2 + y2 - 4 = 0 và (C2): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0?

A. (√ 2; √ 2) và (√ 2; - √ 2) B. (0; 2) và (0; - 2)

C. (2; 0) và (0; 2) D. Đáp án khác

Bài giải:

Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A (0; 2) và B (2; 0).

Đáp án: C.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y²= 4 và đường tròn
(C₂): (x + 10)² + (y - 16)² = 1.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.

Bài giải:

+ Đường tròn C₁ có tâm và bán kính: I₁ (0; 0) và R₁ = 2

+ Đường tròn (C₂) có tâm và bán kính: I₂( - 10; 16) và R₂ = 1.

Khoảng cách giữa hai tâm I₁I₂ = = 2√ 89 > R₁ + R₂.

Vậy (C₁) và (C₂) không có điểm chung.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C₁): x² + y² - 2 = 0 và (C₂): x² + y² - 2x = 0

A. (2; 0) và (0; 2). B. (√ 2; 1) và (1; -√ 2).

C. (1; - 1) và (1; 1) D. ( - 1; 0) và (0; - 1).

Bài giải:

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai giao điểm là A (1; 1) và B (1; - 1).

Đáp án: C.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: y = x và đường tròn (C): x² + y² - 2x = 0.

A. ( 0; 0) B. (0; 0) và (1; 1). C. (2; 0) D. (1; 1)

Bài giải:

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) là nghiệm hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A (0; 0) và B (1; 1).

Đáp án: B

Ví dụ 5: Tọa độ giao điểm của đường tròn (C): x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng
∆:

A. (1; 2) và (2; 1) B. (1; 2) và (1/5; 2/5). C. ( 2; 5) D. (1; 0) và (0; 1)

Bài giải:

Thế vào (C) ta có:

( 1 + t)² + (2 + 2t)² - 2 (1 + t) - 2 (2 + 2t) + 1 = 0

⇔ 1 + 2t + t² + 4 + 8t + 4t² - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0

⇔ 5t² + 4t = 0

⇔

Đáp án: B

Ví dụ 6: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² = 4 và đường tròn
(C₂): ( x - 3)² + (y - 4)² = 25.

A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.

Bài giải:

Đường tròn (C₁) có tâm I₁( 0; 0) và bán kính R₁ = 2

Đường tròn (C₂) có tâm I₂(3; 4) và bán kính R₂ = 5

Khoảng cách hai tâm I₁I₂ = = 5.

Ta có: R₂ - R₁ = 3 < I₁I₂ = 5 < R₂ + R₁ = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Đáp án: B.

Ví dụ 7: Đường tròn x² + y² - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng d: x + y - 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10 B. 8 C. 6 D. 3√ 2.

Bài giải:

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; 1) và bán kính R= 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d (I, d) = = 0

⇒ Điểm I thuộc đường thẳng d nên đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn.

⇒ MN = 2R = 10

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Đáp án: A.

Ví dụ 8: Cho đương tròn C₁) có tâm I₁(1; 0); bán kính R₁ = 1 và đường tròn (C₂) có tâm I₂( - 5; 8), bán kính R₂ = 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và (C₂)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau

Bài giải:

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = = 10

⇒ I₁I₂ = R₂ - R₁ = 10

⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Đáp án: B.

Ví dụ 9: Cho đương tròn C₁) có tâm I₁(2; - 3); bán kính R₁ = 3 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(4; 7), bán kính R₂ = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và (C₂)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau

Bài giải:

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = = √ 104

⇒ I₁I₂ > R₂ + R₁ = 9

⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Đáp án: D.

Ví dụ 10. Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y = 0. Đường thẳng d: 2x - y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn?

A. – 7 < m < 1 B. - 9 ≤ m ≤ 1 C. - 9 < m < 1 D. - 9 < m ≤ 1

Bài giải:

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; - 2) và bán kính R = = √ 5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d:

d (I; d) =

+ Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên:

d (I; d) ≤ R ⇔ ≤ √ 5

⇔ |4 + m| ≤ 5

⇔ - 5 ≤ 4 + m ≤ 5 ⇔ - 9 ≤ m ≤ 1

Vậy để đường thẳng d cắt đường tròn thì - 9 ≤ m ≤ 1

Đáp án: B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C₁): x² + y² - 4 = 0 và
(C₂): x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0

A. (√ 2; √ 2) và (√ 2; - √ 2). B. (0; 2) và (0; - 2)

C. (2; 0) và (0; 2) D. (2; 0) và (- 2; 0)

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Giao điểm của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm A (0; 2) và B (2; 0)

Câu 2: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn (C₁): x² + y² = 5 và
(C₂): x² + y² - 4x - 8y + 15 = 0

A. (1; 2) và (√ 2; √ 3). B. (1; 2) và (- 2; 1)

C. (1; 2) và (√ 3; √ 2). D. (1; 2).

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy toạ độ giao điểm là (1; 2).

Câu 3: Đường tròn (C): (x - 2)² + (y - 1)² = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng đi qua điểm (2; 6) và điểm (- 1; 2)

B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0.

C. Đường thẳng đi qua điểm (3; - 2) và điểm (19; 33).

D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Đường tròn có tâm và bán kính là I (2; 1) và bán kính R= 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R. Nếu d > R thì đường tròn không cắt đường thẳng

* Đường thẳng (a) đi qua điểm (2; 6) và điểm (- 1; 2) nhận u→( 3; 4) làm VTCP nên nhận n→( 4; - 3) làm VTPT

⇒ Phương trình (a): 4 (x - 2) – 3 (y - 6) = 0 hay 4x - 3y + 10 = 0

⇒ d (I; a) = = 3 < R

⇒ Đường tròn (C) cắt đường thẳng này.

* ∆₂: y - 4 = 0 ⇒ khoảng cách d (I, ∆₂) = 3 < R ⇒ (C) cắt ∆₁

* Đường thẳng (b) đi qua điểm (3; - 2) và điểm (19; 30) nhận VTCP u→(16; 32) nên nhận vTPT là n→( 2; - 1)

⇒ Phương trình (b): 2 (x - 3) – 1 (y + 2) = 0 hay 2x - y - 8 = 0

⇒ d (I; b) = = √ 5 < R

⇒ Đường tròn (C) có căt đường thẳng (b).

*∆₄: x - 8 = 0 ⇒ khoảng cách d (I, ∆₄) = 6 < R ⇒ (C) không cắt ∆₄.

Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: x - 2y + 3 = 0 và đường tròn
(C): x² + y² - 2x - 4y = 0

A. (3; 3) và (- 1; 1). B. ( - 1; 1) và (- 3; 3). C. (3; 3) và (1; 2). D. (2; 1) và (2; - 1).

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau

Vậy tọa độ giao điểm là (3; 3) và (- 1; 1).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² - 4x = 0 và
(C₂): x² + y² + 8y = 0.

A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp xúc ngoài.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Đường tròn (C₁): x² + y² - 4x = 0 có tâm I₁( 2; 0) và bán kính R₁ = 2.

Đường tròn (C₂): x² + y² + 8y = 0 có tâm I₂( 0; - 4), bán kính R₂ = 4.

Khoảng cách hai tâm: I₁I₂ = = 2√ 5

Ta có R₂ - R₁ < I₁I₂ = 2√ 5 < R₂ + R₁ nên hai đường tròn cắt nhau.

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: x + y - 7 = 0 và đường tròn
(C): x² + y² - 25 = 0.

A. (3; 4) và (- 4; 3). B. (4; 3) C. (3; 4) D. (3; 4) và (4; 3).

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Giao điểm nếu có của đường thẳng và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là (4; 3) và (3; 4)

Câu 7: Đường tròn x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 cắt đường thẳng (d): x - y - 3 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 5 B. 2√ 23 C. 10 D. 5√ 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I (2; - 3) và bán kính R = 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d (I, d) = = √ 2 < R

⇒ đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm M và N.

+ Gọi H là hình chiếu của I lên MN. Khi đó; H là trung điểm của MN (quan hệ đường kính vuông góc với dây).

+ Ta có IH = d (I, d) = √ 2

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác MIH ta có

MI² = IH² + HM² ⇒ 5² = 2 + HM² ⇒ HM² = 23 nên HM= √ 23

Do H là trung điểm của MN nên MN = 2HM = 2√ 23

Câu 8: Đường tròn (C): (x - 2)² + (y - 1)² = 25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng đi qua điểm (2; 6) và điểm (45; 50).

B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0.

C. Đường thẳng đi qua điểm (3; - 2) và điểm (19; 33)

D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Đường tròn có tâm và bán kính là: I (2; 1) và R = 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R:

* Đường thẳng đi qua điểm (2; 6) và điểm (45; 50): ∆₁: 44x - 43y + 170 = 0

⇒ khoảng cách d (I; ∆₁) = < R nên (C) cắt ∆₁

* ∆₂: y - 4 = 0 ⇒ khoảng cách d (I; ∆₂) = 3 < R nên (C) cắt ∆₂

* Đường thẳng đi qua điểm (3; - 2) và điểm (19; 33): ∆₃: 35x - 16y - 137 = 0

⇒ khoảng cách d (I; ∆₁) = < R ⇒ (C) cắt ∆₃

* ∆₄: x - 8 = 0 ⇒ khoảng cách d (I; ∆₄) = 6 > R nên (C) không cắt ∆₄

Câu 9: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁): x² + y² = 4 và
(C₂): (x + 10)² + (y - 16)² = 1.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Đường tròn (C₁) có tâm và bán kính: I₁ = (0; 0), và R₁ = 2; (C₂) có tâm I₂ (- 10; 16) và bán kính R₂ = 1; khoảng cách giữa hai tâm I₁I₂ =

= 2√ 89 > R₁ + R₂.

Vậy 2 đường tròn đã cho không có điểm chung.

Câu 10: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A (4; - 2)

A. x² + y² - 2x + 6y = 0. B. x² + y² - 4x + 7y - 8 = 0.

C. x² + y² - 6x – 2y + 9 = 0. D. x² + y² + 2x - 20 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tròn x² + y² - 2x + 6y = 0. ta có:

4² + (- 2)² - 2.4 + 6. ( - 2) = 0

⇒ điểm A thuộc đường tròn.

Câu 11: Cho đương tròn C₁) có tâm I₁(3; 4); bán kính R₁ = 5 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(7; 1), bán kính R₂ = 10. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và (C₂)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ = = 5

⇒ I₁I₂ = R₂ - R₁ = 5

⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Bài trước: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm - Chuyên đề Toán 10 Bài tiếp: Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước - Chuyên đề Toán 10